Материал: 1634

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

3x2 5x 12		5	dx	14		dx	27	dx
	dx
		2			5		10
(x 1)(x 2)(x 3)			x 1			x 2		x 3


		5		d(x 1)			14			d(x 2)				27		d(x 3)				5	ln	x 1		14	ln	x 2
		5		d(x 1)			14			d(x 2)				27		d(x 3)				5				14

		2			x 1		5			x 2				10			x 3	2					5
		2			x 1		5			x 2				10			x 3	2					5

	27		ln		x 3	C ln10					C	(x 2)28(x 3)27							.


	10												(x 1)				25
	10												(x 1)				25
									x3 2x 1
2. Вычислить															dx.
2. Вычислить								(x 1)2(x 2)3							dx.

Используя разложение подынтегральной функции на элементарные дроби, полученное на стр. 26, получим


		x3 2x 1			dx			2		(x 1) 2dx						1			dx					5	(x 2) 3dx
(x 1)2(x 2)3					dx					(x 1) 2dx															(x 2) 3dx
(x 1)2(x 2)3							27						9						x 1 9
		20	(x 2) 2dx			1			dx		1		ln	x 1			1	ln		x 2						2
		20				1			dx		1						1									2

	27				9		x 2				9				9												27(x 1)
	27				9		x 2				9				9												27(x 1)
		5			20				C				9 x 4x2									1	ln			x 1		C.
		5			20								9 x 4x2									1				x 1
	18(x 2)2											6(x 1)(x 2)2									9					x 2
	18(x 2)2			27(x 2)								6(x 1)(x 2)2									9					x 2

3.Вычислить x6 2x5 x3 2x2 x 10dx.

x3 1

Подынтегральная дробь является неправильной, так как степень числителя 6 больше 3 – степени знаменателя. Поэтому выделим целую часть делением многочленов:

Отсюда

x6 2x

5 x

3 2x3 x 10

x 10

dx x

x3 1

x 10

dx.

x3 1

Теперь правильную дробь

x 10

нужно разложить в сумму

x3 1

элементарных:

A(x2 x 1) (Bx C)(x 1)

x 10

Bx C

x3 1

(x 1)(x2

x 1

x2 x 1

(x 1)(x2 x 1)

x 1)

Для определения коэффициентов разложения выписываем

равенство для числителей:

x 10 A(x2 x 1) (Bx C)(x 1).

Из этого равенства получаем

при х = 1

9 3A;

при х = 0

A 3;

10 A C;

10 3 C;

C 7;

при х = –1 11 A 2(C B);

11 3 2(7 B);

11 17 2B;

2B 6;

B 3.

Итак,

x 10

3x 7

, поэтому

x 1

x3 1

x2 x 1

x 10

dx 3

3x 7

dx.

x3 1

x 1

x2 x 1

Вычислим эти интегралы:

а)

x 1 t;

C ln

x 1

dt dx.

б)

3x 7

x2 x

1 x

x2 x 1

																																x								1				t;																					1																		11
																																x												t;																					1
												3x 7																											2															3 t																	7								3t

																																																																																				2
																											dx					dx dt;																																	2									dt										2			dt
														1					2					3			dx					dx dt;																											t	2								3						dt					t	2				3			dt
						x																																							1
						x																																							1
														2										4								x t																.																			4															4
														2										4								x t																.																			4															4
																																													2
												t					dt							11 dt																							t		2				3				k;													3 dk 11 1																					t
																																																	2				3

	3																																																				4																																arctg
															3									2																3																														2				k
										2																							2																																																	3									3
									t	2																					t		2															2tdt dk.																													2					3									3
														4																									4
																																																																																		4									4
					3												11															2t																	3								2					3									11								2t			4									4
								ln			k										arctg																	C												ln					t																				arctg							C


				2																																													2												4
																			3														3																																							3								3
																			3														3																																							3								3
																																																															1
				3															1 2									3								11															2 x

																																																															2
								ln			x																																	arctg																			2						C
				2																								4
																																							3																			3
																			2																				3																			3
					3			ln			x		2		x 1														11						arctg											2x 1										C.
					3								2																11																	2x 1
					2
																																	3																3


	Нашли,																																																																																													что
	x 10																														3										2																	11															2x 1


			dx 3ln																x 1															ln				x						x 1																						arctg													C.
	x3 1																														2
																																																													3																3


	Поэтому
				x6 2x5 x3 2x3 x 10																																														dx								1			x				4					2			x		3						x							3				x	2	x 1


																																																																												3ln						1									ln
																				x3																																																								3ln						1									ln
																										1																																4												3																		2


					11					arctg								2x							1		C.
										arctg																	C.
							3														3
	4. Вычислить																																													dx																				.
	4. Вычислить																													(x3							3x2											5x 3)2																		.
																																							dx																																							dx												.
																							(x3 3x2 5x 3)2																																									(x 1)2(x2 2x 3)2																										.
	Раскладываем подынтегральную дробь в сумму простейших
дробей:																	1																									A																B															Cx D																Ex F
																	1																									A																B															Cx D																Ex F
		(x 1)2(x2 2x 3)2																																																		(x 1)2																				x	2 2x 3													(x		2 2x 3)2
		(x 1)2(x2 2x 3)2																																									x 1									(x 1)2																				x	2 2x 3													(x		2 2x 3)2
				1				(x 1)								2					1														1															1																	1											.

				4																		4 (x2 2x 3)
				4																		4 (x2 2x 3)																													2 (x2 2x 3)2

(Процесс нахождения коэффициентов разложения здесь пропущен. Расчет необходимо произвести самостоятельно.)

Теперь

									dx																1							dx							1							dx							1								dx
(x			3		3x				2	5x						3)					2				4					(x 1)				2				4					x	2	2x 3								2		(x	2		2x				3)		2
(x					3x					5x						3)									4					(x 1)								4					x		2x 3								2		(x			2x				3)
			1			1						1										dx										1								dx									x 1 t;
			1			1						1										dx										1								dx
																(x 1)2 2																2 ((x 1)2 2)2
			4 x 1 4													(x 1)2 2																2 ((x 1)2 2)2																	dx dt.
			1			1						1						dt								1							dt										1		1					1	1			arctg							t
																t		2												(t	2		2)		2
																		2													2				2
			4 x 1 4																2 2																								4 x 1 4 2																2
	1							t									1						dt											1										1								t						t
	1							t									1						dt											1										1								t						t
								2														2																										arctg									2
2				4(t				2	2)							4				t		2		2																								arctg			2				8(t		2		2)
2				4(t					2)							4				t				2									4(x 1) 4 2																		2				8(t				2)
	1		1				arctg						t				C												1								1				arctg						x 1								x 1
							arctg										C																								arctg										8((x 1)2
8				2										2													4(x 1)							4				2										2			8((x 1)2									2)
		1				arctg					x				1			C											1													x 1									3			arctg						x 1			C.
						arctg												C																																				arctg									C.
8 2														2														4(x 1)								8(x2 2x 3) 8 2																							2

З а м е ч а н и е . Описанная методика обладает общностью, но в отдельных случаях рассматриваемый интеграл может быть вычислен значительно проще с помощью тех или иных приемов.

5.Вычислить интеграл 6x 5x 4dx.

x3 x2 x2

5x 4

x6 x5 x4 t;

dt (6x5 5x4 4x3)dx.

x3 x2 x

x6 x5 x4

C ln

x6 x5 x4

xdx

6. Вычислить

2x4

2x2

xdx

2xdx

2x2 1 t;

4xdx dt;

arctgt C

2x4 2x2 1

(2x2 1)2

t2 1 2

2xdx

1arctg(2x2 1) C.

													x7 x4						x3 1
7. Вычислить																							dx.
7. Вычислить															x8			1					dx.
															x8			1
Заметим, что
	x7 x4 x3 1 x3(x4																1) (x4 1)														x3					1

					x8 1									(x4			1)(x4					1)							x4			1
					x8 1									(x4			1)(x4					1)							x4			1							x4 1
					x3				1 (x2		1) (x2 1)												x3					1							1	1							1
																																														.
				x	4 1				2 (x2 1)(x2								1)					x						2																		.
				x	4 1				2 (x2 1)(x2								1)					x	4		1			2				x2 1 2									x		2		1
Поэтому
		x7 x4 x3 1										dx					x3				dx			1 dx											1 dx

						x8 1										x4			1				2				x2	1							2
						x8 1										x4			1				2				x2	1							2			x2 1
				замена впервом интеграле:																					1	dt				1			1				x 1					1		arctgx
				замена впервом интеграле:																					1
				x4 1 t;																					4									ln
				x4 1 t;																														ln			x 1
				4x3dx dt.																						t		2				2					x 1			2
				4x3dx dt.										x 1
			1		ln	x	4	1		1	ln								1	arctgx C.


		4								4				x 1				2

В последних трех интегралах вычисления получились достаточно простыми, в то время как вычисление интегралов как полное разложение подынтегральной дроби в сумму простейших дробей было бы громоздким.

Задачи для самостоятельного решения

2x 5

5x 3

dx.

x(x

6x 8

dx.

1 2x

dx.

4 2

3x 2)(x 3)

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных