Материал: 1634

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Решение. Полагаем y xk;y k xk 1;y k(k 1) xk 2.

Подставляя в данное уравнение, после сокращения на xk получим характеристическое уравнение k2 4k 4 0.

Решая его, находим k1 k2 2, следовательно, общее решение будет

y С1x2 С2x2 ln x.

§15. Системы дифференциальных уравнений

Метод исключения. Для нахождения решения, например, нормальной системы двух дифференциальных уравнений 1-го порядка, то есть системы вида

dy

 

f x, y,z ;

dz

G x, y,z ,

(67)

 

 

dx

 

dx

 

разрешенной относительно производных от искомых функций y и z, дифференцируем по x одно из них. Получаем

d2 y f f dx2 x y

f

f

G.

(68)

 

 

z

 

Определяя z из первого уравнения системы (67) и подставляя найденное выражение

 

dy

 

z x, y,

 

 

(69)

 

 

dx

 

в уравнение (68), получим уравнение 2-го порядка с одной неизвестной функцией y. Решая его, находим

y x,С1,С2 ,

(70)

где С1 и С2 произвольные постоянные.

Подставляя функцию (70) в формулу (69), определяем функцию z без новых интеграций. Совокупность формул (69) и (70), где y заменено на , дает общее решение системы (67).

Пример:

Решить систему

dy

dx 2y 4z 1 4x;dz y z 3 x2.

dx 2

Решение. Дифференцируем первое уравнение по x:

 

 

 

d2 y

2

dy

 

4

dz

4.

 

 

 

 

dx2

dx

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из первого уравнения определяется

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

1 4x

 

 

 

 

 

 

2y ,

 

 

 

dx

 

тогда из второго будем иметь

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

3

x

2

x

1

 

 

 

3

y

1 dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

2

 

4

 

2

4 dx

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя z и dz в уравнение, полученное после дифференцирова- dx

ния, приходим к уравнению 2-го порядка с одной неизвестной y:

Решая его, найдем

тогда

1 z 1

4

d2 y dy 6y 6x2 4x 3. dx2 dx

y С e2x С

2

e 3x

x2

x,

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

2x

 

 

С

2

 

 

3x

 

1

 

2

 

4x

 

 

2y

С e

 

 

 

 

 

e

 

 

 

x

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

1

 

 

 

4

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично можно поступить с большим числом уравнений.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3

Решить дифференциальные уравнения. Если указано начальное условие, решить задачу Коши.

 

 

 

 

 

 

Вариант 1

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 2

 

 

 

1.

4xdx 3ydy 3x2 ydy 2xy2dx;

 

x

 

 

y y

 

 

 

 

1.

1 y2

1 x2

0;

2.

y 3x2 y x2 1 x3 /3, y 0 0;

2.

y ycosx sin2x, y 0 1;

3.

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

3.

xy y 1;

 

 

 

y xln x y

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

yIV

6y 9y 3x 1.

4.

yIV y 12x 6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 3

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ydy x2 ydy;

 

 

 

 

dx ydy x2ydy;

1.

 

3 y2

1.

 

4 y2

2.

y ycosx sin2x, y 0 3;

2.

y 4xy 4x3, y 0

1

;

 

3.

2xy y ;

 

 

 

 

 

 

3.

xy y x 1;

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

y

IV

2y

 

y

 

2 3x

2

.

 

 

 

4.

y 2y 3x2 x 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 6

 

 

 

 

 

1.

6xdx 6ydy 2x2ydy 3xy2dx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

x 3 y

2

 

dx y 2 x

2

dy 0;

 

 

 

 

 

y

 

 

lnx

 

 

 

 

y 1 1;

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

x x

 

,

 

 

 

2.

y

 

2

 

 

 

y ex x 1 2, y 0 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

tgx y y

 

 

 

 

1

0;

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

x2 y xy 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yIV

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

 

4.

y 3y 2y 3x2 2x.

4.

y x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. e2x 5 dy ye2xdx 0;

 

 

 

 

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

1 y2 1 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

y y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

y 2xy xe x2

sin x, y 0 1;

2.

y

 

 

2y

 

 

 

x 1 3, y 0

1

;

 

 

x 1

 

3.

y

 

 

 

 

2y

 

 

0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

ctg2x

 

 

 

 

 

 

3.

x3y x2 y 1;

 

 

 

 

 

 

 

4.

y y 4x2

 

3x 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

yIV

2y y 12x2

 

6x.

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

dx y

 

 

 

dy 0;

1.

6xdx 6ydy 3x2ydy 2xy2dx;

1.

5 y2

4 x2

2.

y

 

 

 

xy

 

 

 

 

 

 

x

, y 0

2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

y

2xy

2x

, y 1 e

;

 

21 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3.

tgx y 2y ;

 

 

 

 

 

3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

yV yIV

2x 3.

 

 

y ctg2x 2y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

yIV 2y y 4x2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 12

 

 

 

 

 

 

y 4 ex dy exdx 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y xy2 x 0;

1.

 

 

1.

 

4 x2

 

 

 

 

 

 

 

2xy

 

 

 

 

1 x2, y 1 3;

2.

y xy x3, y 0 3;

 

 

2.

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

x4 y x3y 1;

 

 

 

 

 

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

xy 2y 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

yIV

4y 4y x x2 .

 

4.

y y 6x2

3x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 14

 

 

 

 

 

 

2xdx 2ydy x2 ydy 2xy2dx;

 

x

 

 

 

 

 

 

 

dx y

 

 

 

 

dy 0;

1.

1.

4 y2

1 x2

 

 

 

 

1 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3y

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 y 1, y 1 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

y

 

 

 

 

2.

y

 

 

x

x3 , y 1 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

1

x2 y 2xy x3;

 

 

3.

x5y x4 y 1;

 

 

 

 

 

 

 

4.

yIV

3y 3y y 2x.

 

4.

yIV

2y y 2x 1 x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 16

 

 

 

1. ex 8 dy yexdx 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

5 y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

0;

 

 

 

2.

y

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

12

 

 

y 1 4;

 

 

 

 

 

 

 

y y 1 x

 

 

 

 

 

x

 

x3 ,

 

 

2. y

2

 

y x3, y 1

5

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

3.

xy y

1

0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

xy y x 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 13y 12y 18x2 39.

 

4.

y 5y

6y x 1 2.

 

 

4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 18

 

 

 

1.

6xdx ydy yx2dy 3xy2dx;

 

1.

yln y xy 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

y

 

 

y

 

3x, y(1) 1;

 

 

 

 

 

2.

y

 

 

 

 

 

2x 5

 

y 5, y 2 4;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

tgx yIV

y ;

 

 

 

 

 

3.

xy y

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

y 5y

6y 6x2

2x 5.

 

4.

y y 49 24x2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 20

 

 

 

1. 1 ex y yex ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y xy2 x 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

1 x2

 

 

 

2.

y

y

 

x 1

ex, y 1 e;

 

 

2. y

 

y

2

lnx

, y 1 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

y

 

 

 

 

 

 

 

y

 

1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tgx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

y 13y 12y x 1.

 

 

 

tg5x 5y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

y y 6x 5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 22

 

 

 

1.

6xdx 2ydy 2yx2dy 3xy2dx;

1.

y 1 ln y xy 0;

 

 

 

 

 

 

 

2.

y

 

y

sin x,

y

1

;

 

 

2.

y

 

 

 

y

 

 

 

x2, y 1 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

4y3y y4

1;

 

 

 

 

 

3.

y 128y3;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

y y 3x2 2x 1.

 

 

4.

yIV

3y 3y y x 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 24

 

 

 

1. 3 ex yy ex;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yy 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

3 y2

1 x2

 

 

 

2.

y

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

 

 

y

2x2

, y 0

2

;

 

y

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

x

2

 

 

2x,

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x2

 

 

 

 

1 x2

 

 

 

3

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

y 1

2

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

 

 

 

64;

 

 

 

 

 

 

3.

y

2sin ycos

y 0;

 

 

 

y y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

y 4y 32 384x2.

 

 

4.

3yIV y 6x 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 26

 

xdx ydy yx2dy xy2dx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx 4 x2 y y dy 0;

1.

 

1.

 

5 y2

2.

y

 

y

 

 

 

e

x

x 1, y 0 1;

 

y

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

 

 

xsinx, y

 

 

1;

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3.

y 32sin3 ycosy;

 

 

 

 

 

 

3.

 

3

49 0;

 

 

4.

y y 5x2

1.

 

 

 

 

 

 

y y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

7y

y 12x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 28

1. 1 ex yy ex;

 

 

 

 

 

 

 

 

1. 3 x2 y y dy

 

 

 

 

dx 0;

 

 

 

1

 

 

2 y2

 

y

 

 

 

 

cos2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

sin2x, y 0 0;

2.

ytgx

x, y

 

 

 

 

 

 

;

2.

y ycosx

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

y 8sin ycos3

y 0;

 

 

 

 

 

 

3.

4y3y y4 16;

 

 

4.

yIV 2y y x2 x 1.

 

 

 

 

4.

yIV

y 5 x 2 3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 29

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 30

1.

2xdx ydy yx2dy xy2dx;

 

 

2x 2xy2

 

 

 

 

 

 

y 0;

 

1.

 

2 x2

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

x2, y 1 0;

2.

yctgx 2xsinx, y

 

 

0;

2.

y

2

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

y

 

50y

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

25 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y y

 

 

 

4.

y y

 

x2 x.

 

 

 

 

 

 

4.

y 3y 2y 1 x2 .

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

1.Определение первообразной и неопределенного интеграла.

2.Таблица интегралов.

3.Методы интегрирования (замена переменной, по частям, интегрирование рациональных, иррациональных, тригонометрических функций).

4.Задача о площади криволинейной трапеции.

5.Определенный интеграл и его геометрический смысл.

6.Формула замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле.

7.Несобственный интеграл.

8.Использование определенного интеграла (площади плоских фигур, длины дуг, площади поверхности вращения, объем тела вращения).

9.Типы дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решения (уравнения с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли, в полных дифференциалах).

10.Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

11.Линейные уравнения с постоянными коэффициентами.

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных