Материал: 1634
Приложение 1
Таблица производных
1.c 0.
2.xm mxm 1;
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
x |
|||
3.ax ax lna;
ex ex.
|
|
|
|
1 |
|
|
4. loga x |
|
|
|
; |
||
|
xlna |
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ln x |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||
x
5.sin x cosx.
6.cosx sinx.
|
1 |
|
|
7. tgx |
|
|
. |
cos2 x |
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8. ctgx |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9. arcsin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 x2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
10. arccosx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 x2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
11. arctgx |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
12. arcctgx |
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||
|
|
1 x2 |
|
|
||||||||||||||||||
----------------------------------------- |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
uv |
u v |
uv |
; |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uv |
|
|
|
||||||||
u |
|
u v |
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
v2 |
|
|
|
||||||||||||||
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Приложение 2
Таблица интегралов
1.0dx C.
2.1dx dx x C.
xn 1
3. xndx C, n 1. n 1
4. |
dx |
ln |
|
|
x |
|
C, |
x 0. |
|
||
|
|
|
|||||||||
|
|
||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ax |
|
|
|
||||||
5. axdx |
C, |
a 0, a 1; |
exdx |
||||||||
lna |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6.cosxdx sin x C.
7.sin xdx cosx C.
dx
8. cos2 x tgx C .
dx
9. sin2 x ctgx C .
10. |
|
|
|
dx |
|
1 |
arctg |
x |
C, |
a 0. |
|||||||
|
x |
2 a2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
||||||||
|
|
|
dx |
|
|
1 |
|
x a |
|
|
a 0, x a |
||||||
11. |
|
|
|
ln |
|
, |
|||||||||||
x |
2 a2 |
2a |
x a |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ex C.
.
12. |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
arcsin |
x |
C , |
|
x |
|
a, a 0. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
2 x2 |
a |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
C, |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
ln |
x |
x2 a |
|
|
a 0, x |
|
. |
||||||||
13. |
|
|
|
|
|
|
a |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x |
2 a |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
------------------------------------------------------------------------------------------
udv uv vdu.
Приложение 3
Приложение 4
|
|
Дифференциальные уравнения 1-порядка |
|
1. Уравнения с разделяющимися переменными y |
f (x) g(y). |
||
Используем y |
dy |
. |
|
|
|
||
|
dx |
|
|
2. Однородные дифференциальные уравнения y |
y |
|||||||
f |
|
. |
||||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
||
|
y |
t;y tx |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
Используется замена |
x |
|
. |
|
|
|
||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t x t |
|
|
|
|
|
3. Линейные дифференциальные уравнения y p(x)y q(x);
уравнение Бернулли y p(x)y q(x)y , ≠ 0; 1
решаются: а) методом вариации произвольной постоянной;
y uv,
б) заменой .
y u v uv
4.Уравнения в полных дифференциалах P(x, y)dx Q(x, y)dy 0
при условии Py Qx .
xy
Решение: y P(x, y)dx Q(x0, y)dy .
x0 y0
Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
1. y(n) f (x).
Решаются n-кратным интегрированием.
2. F(x, y , y ) 0 («без у»).
y p(x)
Замена: .
y p (x)
3. F(y, y , y ) 0 («без х»).
y p(y)
Замена: y p dp .
dy