Материал: 1634

Раздел 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Интеграл – одно из центральных понятий математического анализа и всей математики, возникновение которого связано с двумя задачами: о восстановлении функции по ее производной (например, с задачей об отыскании закона движения материальной точки вдоль прямой по известной скорости этой точки); о вычислении площади, заключенной между графиком функции f (x) на отрезке a x b и осью абсцисс (к этой же задаче приводит вычисление работы, произведенной силой за некоторый промежуток времени и др.).

Указанные две задачи приводят к двум видам интеграла: неопределенному и определенному. Изучение свойств и вычисление этих связанных между собой видов интеграла составляют задачу интегрального исчисления. Интегральное исчисление непрерывно связано с дифференциальным исчислением (рис. 1) и составляет вместе с ним основу математического анализа.

Дифференцирование

F(x) F'(x) f (x)

Интегрирование

Рис. 1

Истоки интегрального исчисления относятся к античному периоду развития математики и связаны с методом исчерпывания, разработанным математиками Древней Греции. Этот метод возник при решении задач о вычислении площадей плоских фигур и поверхностей, объемов тел, некоторых задач статики и гидродинамики. Он основан на аппроксимации объектов ступенчатыми фигурами или телами. Метод исчерпывания можно рассматривать как античный интегральный метод. Отметим работы Евдокса (IV в. до н.э.) и Архимеда (III в. до н.э.). Дальнейшее совершенствование метода связано с именами многих ученых XV XVII вв.

Основные понятия и теория интегрального и дифференциального исчисления и их использование были разработаны в трудах И. Ньютона и Г.Лейбница в конце XVII в. Их исследования явились началом интенсивного развития математического анализа. Существенную роль в его создании в XVIII в. сыграли работы Л.Эйлера, Я. и И. Бернулли, Ж.Лагранжа. В XIX в. в связи с появлением понятия предела интегральное исчисление приобрело логически завершенную форму в работах О. Коши, Б. Римана. Разработка теории и методов интегрального исчисления происходила в конце XIX в. и в XX в. одновременно с исследованием теории меры, играющей существенную роль в теории интегрального исчисления.

С помощью интегрального исчисления стало возможным решать единым методом многие теоретические и прикладные задачи, как новые, которые ранее не поддавались решению, так и старые, требовавшие раньше искусственных приемов.

§1. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла

Пусть в некоторой области D задана функция f (x) и существует такая функция F(x), что ее производная на D равняется данной функции

1 x2

первообразной служит F(x) arcsin x.

Возникает вопрос, всякая ли функция f (x) имеет в данной области D первообразную. Рассмотрим функцию

1,если 2 х 0;

f (x)

1,если0 х 2.

f (x) задана на отрезке 2,2 и первообразной для нее не существует, то есть f (x) не может являться производной ни для какой функции, так как производная любой функции, принимающая на данном промежутке два каких-либо значения, должна принять на нем и все промежуточные значения (теорема Дарбу). Между тем f (x) принимает на 2,2 значения +1 и –1 , но не принимает никаких промежуточных значений между ними. Можно доказать теорему.

Т е о р е м а . Всякая непрерывная на данном сегменте функция имеет на нем первообразную функцию.

Теперь ответим на следующий вопрос: если данная функция имеет первообразную, то является ли первообразная единственной? Ответ и на

этот вопрос отрицательный. Например, для функции f (x) 3x2 можно указать несколько первообразных: F1(x) x3; F2(x) x3 1; F3(x) x3 7;

F4(x) x3 C, где C R – произвольно. Итак, операция отыскания первообразной для данной функции является многозначной операцией (там, где она выполнима).

(F(x) C)' F'(x) C' F'(x) f (x).

Означает ли это, что формула F(x) C дает все первообразные для

f(x)?

Вобщем случае на этот вопрос нужно ответить отрицательно. Рассмотрим две функции F1(x) и F2(x), заданные равенствами:

Они обе являются первообразными для функции f (x) 1, однако их разность не является постоянной:

1,если 1 x 0;

F1( x) F2( x)

2,если0 x 1.

Однако справедлива следующая теорема.

Т е о р е м а . Если функция f (x) имеет на одном промежутке первообразную F(x), то любая ее первообразная на этом промежутке может быть получена при некотором значении C C0 из формулы F(x) C .

F(x) C .

Докажем лемму (признак постоянства функции), использованную при доказательстве теоремы.

Л е м м а . Функция, производная которой на некотором промежутке D равна нулю, постоянна на этом промежутке.

Доказательство. Пусть во всех точках промежутка D производная равна нулю: y'(x) 0.Рассмотрим две произвольные точки x1,x2 D. По

По условию, y'(x) 0, тогда y(x2) y(x1). Поскольку точки x1,x2 D произвольны, мы доказали, что значения функции во всех точках промежутка одинаковы, то есть функция постоянна: y(x) C на D.

Неопределенным интегралом от функции y f (x) называется сово-

f(x)dx – подынтегральным выражением; f(x) – подынтегральной функцией; х – переменной интегрирования.

Из определения неопределенного интеграла и из доказанной теоремы мы можем для данного промежутка написать, что

f(x)dx F(x) C ,

где F(x) – любая из первообразных функций для f (x); С – произвольная

Для проверки правильности вычисления неопределенного интеграла необходимо продифференцировать результат. Должна получиться подынтегральная функция f(x)dx ' F(x) C ' f(x).

Отыскание функции по ее производной или, что то же самое, вычисление неопределенного интеграла данной функции называется интегрированием этой функции.

Основные свойства неопределенного интеграла

1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

d f(x)dx f(x)dx.

Действительно, d f(x)dx f(x)dx 'dx F(x) C 'dx f(x)dx.

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции (с точностью до постоянной)

dF(x) F(x) C .

Действительно, d F(x) C dF(x), следовательно, dF(x) F(x) C .

3. Интеграл от суммы нескольких функций равен сумме интегралов от этих функций:

f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx .

Действительно, f(x)dx g(x)dx ' f(x)dx ' g(x)dx ' f(x) g(x).

4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:

Af(x)dx A f(x)dx.

Действительно, A f (x)dx ' A f (x)dx ' Af (x).

5. Если f( x)dx F( x) C; u u( x) – дифференцируемая функция,

то

f (u)du F(u) C .

Примеры:

1. (3x2 4sin x)dx 3x2dx 4sinxdx 3 x2dx

4 sinxdx 3 x3 4 cosx C x3 4cosx C 3

(использованы свойства 3, 4).

2.По свойству 5 получим интегралы на основании интеграла

3x2dx x3 C :

а) пусть u(x) sin x:

3sin2 x dsinx sin3 x C;

б) пусть u(x) ln x:

3ln2 x dlnx ln3 x C ;

в) пусть u(x) x4 7:

3(x4 7)2d(x4 7) (x4 7)3 C

и так далее.

§2. Таблица основных интегралов

С целью облегчения вычисления неопределенных интегралов составляют таблицу простейших интегралов. Строгого критерия, какие интегралы считать табличными, нет. Мы будем использовать следующую таблицу.