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2 |
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2 |
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dt 2 dt |
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2 t |
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ln |
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C |
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t |
1 |
t |
2 |
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2 |
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t 1 |
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1 |
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||||||||||||||||||
2
1 ex ln 
1 ex 1 C 2
1 ex 2ln( 
1 ex 1) x C.
1 ex 1
|
|
t 3x 8; |
|
1 |
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1 t101 |
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(3x 8)101 |
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100 |
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100 |
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9. (3x 8) |
dx |
dt 3dx; |
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t |
|
dt |
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C |
|
C. |
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3 |
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3101 |
303 |
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dx |
dt |
. |
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3 |
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10.I |
x arctg |
x |
dx |
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xdx |
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arctgxdx |
. |
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2 |
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2 |
2 |
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||||||||||||||||||||||||||
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1 x |
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1 x |
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1 x |
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Вычислим эти интегралы отдельно : |
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xdx |
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t x2 1; |
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1 |
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dt |
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1 |
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1 |
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|||||||||||
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dt 2xdx; |
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ln |
|
t |
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C |
|
ln1 x2 |
C; |
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x2 1 |
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2 |
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t 2 |
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2 |
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xdx |
dt |
. |
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2 |
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arctgx |
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t arctgx; |
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tdt |
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t2 |
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arctg |
2x |
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dx |
dt |
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dx |
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C |
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C. |
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2 |
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1 x |
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2 |
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2 |
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1 x2 |
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||||||||
Итак, I 1ln x2 1 arctg2x C. 2 2
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить интегралы методом подведения под знак дифференциала (или заменой переменной).
1. |
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dx |
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3 |
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5 3x |
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cos |
1 |
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3. |
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x |
dx. |
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x2 |
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5. |
|
arcsinx |
|
dx. |
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||||||||
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1 x2 |
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||||||||
7. |
|
2x 5x3 dx |
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. |
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1 x4 |
||||||||||
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9. |
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3tgx 7 |
|
dx. |
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|
|
cos2x |
|
|||||||||||
x arctgx 11. 1 x2 dx.
1 tgx
13. cos2x dx.
dx
2. 26x 3.
4. xdxlnx.
6. |
|
dx |
|
. |
|
|
|
|
|||
4x x2 |
|||||
|
|
|
|
8. 2x 3 
x 1dx.
10. x2sin(3x3 4)dx.
12. cosx 7
2sin x 4dx.
14. |
|
dx |
|
. |
|
|
|
||
|
x2 1 |
|||
|
x |
|||
§4. Интегрирование по частям
Рассмотрим тождество d(u ) ud du или ud d(u ) du, где u u(x); (x) – две функции, имеющие на данном сегменте производ-
ные, причем существует интеграл u(x) '(x)dx ud . Тогда
ud d(u ) du d(u ) du.
Так как d(u ) u C, то |
|
ud u du. |
(1) |
Формула (1) называется формулой интегрирования по частям. Метод заключается в сведении интеграла ud к более простому интегралу du.
Простейшие виды интегралов, вычисляемых по частям
1. xnsinxdx.
u
3. xnaxdx.
u
5. xnarctgxdx.
u
7. xnarcsinxdx.
u
9. excosxdx.
u
2. xncosxdx.
u
4. xnlog xdx.
a
u
6. xnarcctgxdx.
u
8. xnarccosxdx.
u
10. exsinxdx.
u
В этих интегралах указано, что следует обозначить за u(x).
Схема вычисления интегралов по частям состоит в следующем. Сначала интеграл разбивается на части u(x) и d (x). Затем вычисляются
du u'(x)dx и (x) d (x). Теперь можно применить формулу (1).
Примеры: |
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u x du dx; |
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1. |
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x sin xdx |
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d sin xdx d sin xdx cosx. |
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u |
d |
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|||||||
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||||||||||
При вычислении (x) константу интегрирования опускают. |
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x ( cosx) |
cosxdx xcosx |
|
cosxdx xcosx sinx C. |
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u |
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|
du |
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2. |
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x2 |
sin xdx |
|
u x2 du 2xdx; |
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|||||
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|||||||||||
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|
d sin xdx sin xdx cosx. |
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||||||
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u |
d |
|
|
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||||||
x2( cosx) cosx 2xdx x2 cosx 2 xcosxdx.
u d
Получившийся после применения формулы (1) интеграл более простой, но для его вычисления нужно еще раз применить формулу (1).
u x du dx;
d cosxdx cosxdx sinx. x2cosx 2 xsinx sinxdx
x2cosx 2 xsinx cosx C.
3. Вместо xn в интеграле может быть многочлен любой степени:
(3x |
2 |
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6x |
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u 3x2 6x 7 du (6x 6)dx; |
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7)sinxdx |
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dv sinxdx v sinxdx cosx. |
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d |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(3x2 |
|
u |
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6x 7)( cosx) ( cosx)(6x 6)dx |
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u x 1;du dx; |
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|||||||||||||||||
(3x2 |
6x 7)cosx 6 |
|
|
( x 1)cosxdx |
dv cosxdx; |
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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v cosxdx sinx. |
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u |
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|
dv |
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(3x2 |
6x 7)cosx 6( x 1)sinx |
sinxdx (3x2 6 |
x 7)cosx |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6( x 1)sinx 6cosx C (3x2 6x 1)cosx 6( x 1)sinx C. |
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
|
(3x 1)cos7xdx |
|
|
u 3x 1 du 3dx; |
|
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1 |
|
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1 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
dv cos7xdx v cos7xdx |
|
cos7xd(7x) |
|
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|
sin7x. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
dv |
|
|
|
|
|
7 |
|
7 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(3x 1) |
sin7x |
|
1 |
|
|
sin7x 3dx (3x 1) |
sin7x |
|
|
3 |
sin7xd(7x) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
49 |
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
7 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||
(3x 1) |
sin7x |
|
|
3 |
cos7x C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5. x |
2e3xdx |
|
u x2 du 2xdx; |
|
|
|
|
e |
3x |
|
x2 |
e3x |
|
|
|
e3x |
|
2xdx |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dv e3xdx |
v e3xdx |
|
|
|
. |
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
u |
|
|
dv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
u x du dx; |
|
|
3x |
|
|
|
|
|
2 |
e3x |
|
2 |
|
|
|
e3x |
|
e3x |
|
|
|
|
|
2 |
|
e3x |
2 |
|
3x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
dv |
e |
3x |
dx |
v |
e |
|
|
|
|
|
. |
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
x |
|
|
|
|
|
|
xe |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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22
11.I ex cosxdx.
Этот интеграл является круговым (циклическим), вычисляется на основании формулы (1).