Материал: 1634

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Таблица интегралов

1.0dx C.

2.1dx dx x C.

xndx

xn 1

n 1.

n 1

x 0.

axdx

a 0, a 1;

lna

exdx ex C.

6.cosxdx sinx C.

7.sinxdx cosx C.

tgx C .

cos

ctgx C .

sin

10.

arctg

arcctg

a 0.

2 a2

x a

a 0,

x a.

11.

2 a2

x a

12.

arcsin

C arccos

a 0.

a2 x2

13.

x2 a

a 0,

x2 a

Формулы 1 9 таблицы получаются непосредственно из таблицы производных простым обращением соответствующих формул. Формулы 10 13 будут выведены позже в разделе «Замена переменных». Их правильность можно проверить дифференцированием.

Вычисление интегралов на основании таблицы и с помощью основных свойств неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием. Метод заключается в преобразовании интеграла в сумму табличных интегралов.

Примеры:

1. (x 37x 22x)dx (x2 37 x3 4x)dx x2dx 37 x3dx 4xdx

33 7

x x

x3 x

ln4

x3 3x x2x 1

dx ( x2 3 2x

)dx

x2dx

3 dx 2xdx

ln2

sin2x cos2x

dx tgx ctgx C.

sin

xcos

sin

xcos

sin

cos

5 3x2

x2 (5 2x2)

5x2 2x4

x2(5 2x

(5 2x2)

5 2x2

x 2dx

5 2x2

x2(5 2x2)

arctg

5. tg

xdx

1 dx

dx tgx x C.

cos2x

2 x

sin

cos

sin

cos

2sin

cos

dx 1 sinx dx

x cosx C.

x4 7. x2 1.

Разделим числитель на знаменатель:

Отсюда получа-

ем

х4

dx x

x arctgx C.

3 2ctg2x

ctg2x

dx 3

cos2x

sin2x

3tgx 2ctgx C.

9.					cos2x								dx				cos2 x sin2 x						dx			(cosx sinx)(cosx sinx)									dx
9.													dx										dx												dx
		cosx sinx															cosx sinx															cosx sinx
(cosx sinx)dx sinx cosx C.
						3													2
				х		3		8						(		x 2)( x			2	2				x 4)										1
10.				х				8			dx			(		x 2)( x				2				x 4)			dx					(x 2x		2 4)dx
10.											dx																dx					(x 2x		2 4)dx
			2						х								2				x
			2							3									2
										2
	x							2x		2										4
	x							2x				4x						x		4		x x 4x								C.
												4x										x x 4x								C.
		2					3			2										3
		2								2							2			3

															Задачи для самостоятельного решения
			Вычислить следующие интегралы:
																												37				1	dx.
			1. (x2 3)3dx.																			2.			x			37			x	1
			1. (x2 3)3dx.																			2.
																													5 x
																													5 x

	x3			1
3.					dx.
3.					dx.
x2				1
5.				dx				.
5.								.
x2(x2						1)
										8
										8
7.		3cosx 7							x		dx.
7.		3cosx 7							x	x	dx.
				dx						x
9.				dx			.


			6x2 8
			6x2 8

cos2x

dx.

cosx sin x

1 x2

dx.

1 x4

dx.

4 x2

3 x2

10. 3 2x 7x2 8x10 dx.

§3. Интегрирование методом подстановки

Метод основан на применении следующей теоремы.

Т е о р е м а о подстановке под знаком неопределенного интеграла. Пусть функция f (u) на множестве a,b имеет первообразную F(u).

Пусть u (x) функция, имеющая на c,d производную и принимающая на этом сегменте значения, не выходящие из a,b . Тогда верна формула

f (x) '(x)dx F (x) C.

Схема применения метода подстановки состоит в следующем. Пусть надо вычислить интеграл g(x)dx, который не считается непосредственно.

Тогда этот интеграл преобразуют:

g(x)dx f (x) '(x)dx f (x) d (x) f (u)du,

где u (x).

Интеграл f (u)du должен получиться легче, чем исходный. После на-

хождения его первообразной F(u) выписывается ответ для исходного примера по формуле из теоремы: F (x) C .

Метод называется также «Подведение под знак дифференциала».

Примеры:


1. cos7xdx						1			cos7x 7dx				1	cos7xd(7x)		u 7x				1	cosudu
						1							1							1
						7							7							7
						7							7							7
	1		sinu C				1			sin7x C.
			sinu C							sin7x C.
7			x3dx 1		7					4x3dx				dx4
2.											1				u x4		1		du			1	arctgu C
											1						1		du			1

		1 x8		4				1 ( x4 )2			4	1 ( x4 )2					4	1 u2				4
		1 x8		4				1 ( x4 )2			4	1 ( x4 )2					4	1 u2				4

1arctgx4 C.

1 3dx

d(3x 2)

1 du 1

u 3x 2

2 3x

3x 2

1ln3x 2 C.

4. ctgxdx

cosx

dsinx

u sinx

C ln

sinx

x2 a2

x a

d( x a)

x a

С.

x a

В этом примере мы не выписывали, чему равны функции u(x)

в полу-

чившихся интегралах, держа их «в уме». В простых случаях так и будем поступать.

		exdx								dex					1				ex
6.																arctg					C.
6.		4 e2x							(ex )2				4		2	arctg		2			C.
					2			1										1				1						1			sin2x
7.	cos						xdx			(1 cos2x)dx										x					cos2xd(2x)				x				C.
7.	cos						xdx	2		(1 cos2x)dx										x		2			cos2xd(2x)			2	x		2		C.
								2										2				2						2			2
8. sin				3		xdx sin					2		sinxdx (1 cos										2							cos3x
				3							2	x											2									C.

																								x)dcosx cosx
																													3
																	1											3
			3lnx 8									1					1									1 (3lnx 8)		3	2
9.			3lnx 8					dx				1		(3lnx 8)2 d(3lnx 8)												1 (3lnx 8)			2	C
9.								dx						(3lnx 8)2 d(3lnx 8)																C
							x					3														3	3
							x					3														3	2

(3lnx 8)3

arcsin3 x

arcsin4 x

10.

arcsin3 xd(arcsin x)

1 x2

Замена переменных может проводиться еще по одной схеме. Рассмотрим ее на примерах.

Примеры:

1. cos(7x 3)dx.

Обозначим аргумент косинуса одной буквой: t 7x 3. Теперь вычисляем равенство для дифференциалов:

t'dt (7x 3)'dx; dt 7dx.

Отсюда dx dt . 7

Теперь выполним замену:
	t 7x 3;				dt		1		1
cos(7x 3)dx	dt 7dx;			cost	dt		1	costdt	1	sint C
cos(7x 3)dx	dt 7dx;			cost				costdt		sint C
	dx	1	dt.	7		7		7
	dx		dt.
	7

1sin(7x 3) C

(в конце вместо t вновь подставили его значение 7х+3).

3x2 6x 1

x3 3x2 x 5 t;

dt (3x2 6x 1)dx.

3dt

3x2 x 5 2

t 3

C 3

t C 3 x

x 5 C.

sinx

cosx t;

3. tgxdx

C ln

cosx

dt sinxdx.

xdx

t x2 a;

dt 2xdx;

xdx

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных