Материал: 1634

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

excosxdx

u ex du exdx;

sinx ex

exsinxdx

dv cosdx v cosxdx sinx.

u ex du exdx;

sinx ex

ex cosx cosx exdx

dv sinxdx v cosx.

sin x ex ex cosx ex cosxdx.

Запишем результат наших вычислений:

I ex(sinx cosx) I.

Выразим отсюда I как из уравнения:

cosxdx

(sin x cosx) C.

x2 a2

dx;

a2 dx

x2 a

12.I

2 x

dv dx v dx x.

dx x

(x2

a2)

dx x

x2 a2

I a2 ln

x2 a2

dx a2

x2 a2

Этот интеграл также является круговым. Получаем

I x

x2 a2

a2 ln

x2 a2

x x

lnx

u lnx du

;

13.

(1 x)2

dx v (1 x) 2d(1 x)

(1 x)2

1 x

lnx

1 x

1 x x

x 1

ln x

x 1

1 x

;

xarctg

u arctg

14. arctg

xdx

1 x 2 x

dv dx v dx x.

заменаt

;

2tdt

(t2 1) 1

x t2;dx 2tdt.

xarctg

1 t2

xarctg

x 1

dt xarctg

x t arctgt C xarctg x

1 t2

arctg

C (x 1)arctg

15. (arcsin x)2dx

u (arcsin x)2 du

2arcsin x

dx;

xarcsin2 x

1 x2

dv dx v x

u arcsinx du

;

2xarcsin x

1 x2

2xdx

d(1 x2

)

1 x2

dx v

1 x2

xarcsin2 x 2 1 x2 arcsin x

1 x2

xarcsin

2 x

1 x

21 x2 arcsin x 2 dx xarcsin2 x 21 x2 arcsin x 2x C.

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить интегралы, используя формулу интегрирования по частям.

1. (3x 8)cosxdx.

2. (7x 4)sin xdx.

3. (4x2 6x 3)sin2xdx.

4. (x3 4x 1)exdx.

5. (x 2)e3xdx.

6. x5ex2dx.

7. sinln xdx.

8. e2x cosxdx.

9. e3x sin6xdx.

10.

dx.

12. x3

dx.

11.

x2 2xdx.

1 x2

13.

14.

10)

§5. Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называют дробь вида P(x) , где Р(х), Q(х) –

Q(x)

многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя. Напри-

мер, дроби

;

6x6 7x 1

– правильные, а дроби

2 2

x10 1

7x 6 8x

8x2 4x 1

;

14x3

;

7x6 1

– неправильные.

x 3

8x2 3

x4 2

Неправильную дробь можно преобразованиями или делением пред-

ставить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной дроби.

Примеры:

8x2 4x 1

8x 20

x 3

целая часть

правильнаядробь

так как

								42				x 7
		14x3 7			14
							x			8
2.	. Поэтому												.
		8x	2	3		8			8x		2
												3
					целаячасть
								правильнаядробь

3.			7x6 1			7x2				14x2	1		, так как
3.						7x2							, так как
			x4 2							x4 2								.
			x4 2			целаячасть				x4 2								.
						целаячасть
								правильнаядробь
4.		x2 3			(x2 1) 4				x2 1			4			1	4		.
4.															1			.
		x2 1				x2 1			x2 1 x2				1				x2 1
		x2 1				x2 1			x2 1 x2				1		целая часть		x2 1

																правильнаядробь
5.	x 1			(x 8) 9			1							9	.
5.							1							x 8	.
	x 8					x 8								x 8
							целаячасть

правильнаядробь

Из сказанного понятно, что интеграл от всякой неправильной дроби сводится к интегралу от многочлена – целой части (считается легко) и к интегралу от правильной дроби. Поэтому далее нас интересуют методы интегрирования правильных дробей.

Прежде всего, напомним известные из алгебры теоремы о многочле-

нах.

Те о р е м а 1 . Чтобы число а было корнем многочлена Q(x), необходимо и достаточно, чтобы он делился без остатка на (х – а), то есть чтобы существовал такой многочлен R(x), что Q(x) (x a) R(x).

Те о р е м а 2 . Всякий многочлен Q(x) a0xn a1xn 1 ... an (отличный от постоянного) с действительными коэффициентами может быть

представлен в следующем виде:

Q(x) a0(x a) 1 (x b) 2 ...(x c) e (x2 p1x q1)S1...(x2 pr x qr )Sr ,

где а, b, … , с – действительные, различные между собой корни Q x ;

1,..., е – их кратности; многочлены x2 pix qi все различны между собой и не имеют действительных корней; S1,...,Sr – натуральные числа.

Причем 1 2 ... e 2 S1 ... Sr n.

Т е о р е м а 3 . Всякая правильная рациональная дробь P(x) может

Q(x)

быть представлена в виде суммы элементарных дробей:

P(x)																				P(x)
			a		(x											e (x			2						S			2	p x				q			)	S
Q(x)			a		(x	a)				1...(x c)						e (x				p x q ) 1...(x									p x				q		r	)		r
			0																		1			1						r					r
	A				A								A									A							B					B
	1					2						3					...						1		...				1						2
	x a			(x a)					2		(x a)				3		...								...			x c				(x c)						2
	x a			(x a)							(x a)											(x a)		1				x c				(x c)
	B3				...					B e				...						C1x D1							C2x D2
																										x2								2
	(x c)3							(x c) e										x2			p x q					x2		p x q						2
																					1			1					1				1
			CS x DS														K x M						1			K	2	x M			2
...					1					1			...						1				1				2				2
																									x2 prx qr								2
		x2		p x q S1												x2		prx qr							x2 prx qr								2
					1					1
...			KSr x DSr										,
...		x2		p		r	x q Sr						,
						r				r

где Ai,Bi,Ci,Di,Ki,Mi – действительные числа.

На практике данную рациональную дробь раскладывают на элементарные методами, которые мы изложим на примерах.

Примеры:	3x2
1. Разложим дробь		5x 12	на элементарные.

(x 1)(x 2)(x 3)

Выпишем сумму простейших дробей с неопределенными коэффициентами на основании теоремы 3.

3x2 5x 12

(приведем сумму дробей к

(x 1)(x 2)(x 3)

x 1

x 2

x 3

общему знаменателю) =

A(x 2)(x 3) B(x 1)(x 3) C(x 1)(x 2)

(x 1)(x 2)(x 3)

Из данного равенства видно, что первая и последние дроби совпадают. Так как у них одинаковые знаменатели, то и их числители равны:

3x2 5x 12 A(x 2)(x 3) B(x 1)(x 3) C(x 1)(x 2).

(2)

Далее А, В, С можно найти двумя способами.

1-й способ (метод неопределенных коэффициентов). Преобразуем равенство (2) к виду

3x2 5x 12 (A B C)x2 (A 2B 3C)x ( 6A 3B 2C).

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях равенства, получим систему уравнений

A B C 3;

A 2B 3C 5;

6A 3B 2C 12.

Решив эту систему, найдем

A 5; B 14; C 27. 2 5 10

2-й способ (метод частных значений). В равенство (2) бу-

дем вместо х подставлять различные значения х и получать уравнения, связывающие неопределенные коэффициенты. Значения х подбираем так, чтобы получающиеся уравнения были максимально простыми:

при х = 2 уравнение (2) имеет вид

3 22 5 2 12 A 0 B(2 1)(2 3) C 0;

14 5B; B 14; 5

при х =1

3 12 5 1 12 A(1 2)(1 3) B 0 C 0;

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных