Материал: 1634

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

3ln

(x2

2)2

C 3ln

x 4

x 1

x2 6x 3 (x2 6x 9) 9 3

x 1

(x 3)2 6

x2 6x 3

t x 3;

t 4

tdt

t2 6 k;

dt dx;

2tdt dk;

t2 6

x t

t2 6

tdt

4ln

t2 6

4lnt t2 6 C x2 6x 3 4ln x 3 x2 6x 3 C.

2 x

10x 7 (x2 10x 25) 33

33 (x 5)2

7 10x x2

2 x

x 5 t;

(t 5)

7 t

dt dx;

33 (x 5)2

33 t2

x t

33 t2

tdt

33 t2 k;

2tdt dk;

33 t2

tdt

C 7arcsin

7arcsin

33 t2

33 (x 5)2

Покажем еще один вариант вычисления простейшей дроби

III типа.

Найдем	ax b	dx;	p2	q 0. Выделим в числителе дроби
	x2 px q
		4

производную знаменателя. Для этого числитель представим в виде

ax b (2x p)

Тогда

ax b

2x p

x2 px q

px q

В первом из этих интегралов сделаем замену:

(2x p)dx

x2 px q k;

C ln

x2 px q

dk (2x p)dx.

Вычислим второй:

px q

arctg

2x p

4q p2

				p
	d x
	d x			2
				2
		p 2
		p 2			p2
x			q
x	2		q		4
	2				4

Примеры:

				3x 1										3			(2x 4) 1 6																		3			(2x 4)dx													dx
														2			(2x 4) 1 6
1.									dx					2														dx																			5
1.		x2 4x 8							dx									x2 4x 8										dx						2													5
		x2 4x 8																x2 4x 8																2				x2 4x 8												x2 4x 8
	3					2													dx								3							2											5						x 2
	3					2													dx								3							2											5						x 2
		ln		x			4x 8				5																				ln	x				4x 8										arctg						C.
		ln		x			4x 8				5											2 4									ln	x				4x 8										arctg						C.
	2															(x 2)											2																		2				2
	2															(x 2)											2																		2				2
2.						xdx							41 (4x 2) 12											dx						1					(4x 2)dx											1					dx
2.																								dx									2x2 2x 5															2x2 2x 5
		2x2 2x 5											2x2 2x 5																4				2x2 2x 5												2			2x2 2x 5
	1			2x2 2x 5										1									dx													1							2 2x 5
	1													1									dx													1
		ln																	2 x 12 2 32 2																					ln		2x
	4	ln													2																						4
	4								x 12						2																						4							2x 1
	1 1													1											2											1
	1 1													1											2											1
							arctg							C							ln		2x				2x 5														arctg							C.
	4		3		2		arctg		3	2				C						4	ln		2x				2x 5												6						3			C.
	4		3		2				3	2										4											p2								6						3
IV. Дробь												ax b										dx,n				1,					p2			q 0 находится методом
IV. Дробь								(x2			px q)n											dx,n				1,			4					q 0 находится методом

понижения степени, который использует формулу интегрирования по частям.

Выделим в числителе производную от квадрата трехчлена, стоящего в знаменателе:

ax b

(2x p)

2 px q)n

(x2 px q)n

(2x p)dx

(x2 px q)n

2 px q)n

Для

первого

из

этих

интегралов

сделаем

замену

x2 px q k;

dk (2x p)dx.

(2x p)dx

(x2 px q)n

(1 n)(x2 px q)n 1

Второй интеграл преобразуем:

2 px q)n

2 n

dx dt.

a2 q

2 n

(t2 a2)n

t2 q

1 (t2 a2) t2

(t2 a2)n

2 a2)n 1

t2dt

In 1

t2dt

(t2 a2)n

(t2

a2)n

Используем формулу интегрирования по частям:

u t;du dt;dv

tdt

;

t2dt

2 a2)n

(t2 a2)n

tdt

d(t2 a2)

)

n 1

2(n 1) (t

2(n 1)(t2 a2)n 1

2(n 1)

(t2

a2)n 1

(2n 2)(t2 a2)n 1 2n 2In 1.

Теперь можем записать

In	1	In 1	1	In 1	t		,
	a2		a2(2n 2)		a2(2n 2)(t2	a2)n 1

откуда получаем

In	t	1	2n 3	In 1.
	a2(2n 2)(t2 a2)n 1	a2
			2n 2

Это рекуррентная формула. С ее помощью In сводится к вычислению In–1, далее к In–2 и т.д. В конце концов мы дойдем до I2, который по этой же формуле равен

I2	t		1	arctg	t	C.
	2a2(t2
		a2) 2a2			a

Пример:

3x 2

(2x 2) 2 3

Найдем интеграл

(x2 2x 10)

(x2 2x 10)2

(2x 2)dx

(x2 2x 10)2

(x2

2x 10)2

Вычислим полученные интегралы отдельно:

а)

(2x 2)dx

x2 2x 10 t;

2 2x 10)2

(2x 2)dx dt.

x2 2x 10

б)

t x 1;

2 2x 10)2

(x 1)2

9 2

dx dt.

2 9)2

используем рекуррентнуюформулу

2(2 1) 9

(t2 9)2 1

2 2 3

arctg

t2 9

18(t2

9 2 2 2

x 1

arctg

x 1

18 (x 1)2

Итак,

3x 2

x 1

arctg

x 1

(x2 2x 10)2

2(x2

2x 10)

x2 2x 10

Задачи для самостоятельного решения

1.	dx				.						2.				dx			.
1.					.						2.	(x 3)					3	.
	x 8											(x 3)
3.				dx		.									4.						3x 1			dx.
3.				10		.									4.		x	2						dx.
	(x 6)																x				4.x 12
5.				dx			.				6.			4x 1							dx.
	x	2
		2												7x x2
			2x 8											7x x2
7.					dx				.		8.				dx								.
												(x			2					2
			4 2x x2												2					2
			4 2x x2													4x)
9.				3x 1						dx.	10.					x 1						dx.
9.	(x			2				2		dx.	10.		(x			2			3			dx.
	(x			2x 5)									(x			2)

Из всего сказанного вытекает следующая теорема .

Т е о р е м а . Интеграл от рациональной функции всегда выражается через элементарные функции в конечном виде.

Теперь рассмотрим несколько примеров на интегрирование рациональных дробей.

Примеры:

1. Вычислить интеграл

		3x2 5x 12	dx.
		(x 1)(x 2)(x 3)

На стр. 25 мы получили разложение подынтегральной дроби на элементарные:

3x2 5x 12	52	145	2710	.
(x 1)(x 2)(x 3)		x 2
	x 1		x 3

Теперь найдем интеграл:

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных