Материал: 1634

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

10 4А; А 5; 2

при х = –3

3 32 5 3 12 A 0 B 0 C( 3 1)( 3 2);

54 20С;

Теперь мы можем выписать сумму простейших дробей:

3x2 5x

(x 1)(x 2)(x 3)

x 2

x 1

x 3

2. Разложить дробь

x3 2x 1

на элементарные. По тео-

(x 1)2(x 2)3

реме 3 имеем

x3 2x 1

(x 1)2(x 2)3

x 1

(x 1)

(x 2)

(x 2)3

x 2

A(x 1)(x 2)3

B(x 2)3 C(x 1)2(x 2)2

D(x 1)2(x 2) E(x 1)

(x 1)2(x 2)3

Выписываем равенство для числителей:

x3 2x 1 A(x 1)(x 2)3

B(x 2)3 C(x 1)2(x 2)2

D(x 1)2(x 2) E(x 1)2.

(3)

При х =1 получаем

13 2 1 1 A 0 B 33 C 0 D 0 E 0;

27B 2; B 2 . 27

При х = –2

( 2)3 2 ( 2) 1 A 0 B 0 C 0 D 0 E ( 3)2;

9E 5; E 5. 9

Теперь продифференцируем обе части равенства (3):

3x2 2 A(x 2)3	3A(x 1)(x 2)2	3B(x 2)2
2C(x 1)(x 2)2	2C(x 1)2(x 2) 2D(x 1)(x 2)
D(x 1)2 2E(x 1).		(4)

При х = 1

3 12 2 A 33 3B 32;

1 33		2		1
	A 27		;	A	.
		27
				9

При х = –2

3 ( 2)2 2 ( 3)2 D 2( 3)E;

10 9D 6E; 10 9D 6

;

Далее можно еще раз продифференцировать равенство (4) и

положить х = –2, однако, так как остался неизвестен только один

коэффициент, поставим в равенство (3) можно и в (4) некоторое

значение x, получим при х = 0

1 8А 8В 4С 2D E.

Используя найденные ранее коэффициенты, находим, что

Итак,

x3 2x 1

(x 1)2(x 2)3

9(x 1)

27(x 1)2

9(x 2)

27(x 2)

9(x 2)3

3. Разложить в сумму простейших дробей

x 1

x4 1

Разложим знаменатель дроби на простейшие множители:

x4 1 (x2 1)(x2 1) (x 1)(x 1)(x2 1).

Теперь воспользуемся теоремой 3:

x 1

Cx D

(x 1)(x 1)(x2 1)

x 1

x2 1

A(x 1)(x2

1) B(x 1)(x2 1) (Cx D)(x 1)(x 1)

(x 1)(x 1)(x2 1)

Выписываем равенство для числителей:

x 1 A(x 1)(x2 1) B(x 1)(x2

1) (Cx D)(x 1)(x 1).

При х = 1

2 A 2 2; A 1. 2

При х = –1

0 B( 2) 2; B 0.

При х = 0

1 A B D;

D A B 1;

D 1 0 1; D 1. 2 2

При х = 2

3 A 3 5 B(5 (2C D) 3;

3 15A 5B 6C 3D;

			3	15	5 0 6C				3	;
			3		5 0 6C				2	;
			2				1		2
			6C 3;C				1	.
			6C 3;C					.
			2
Итак,	x 1	1	x 1			.
Итак,	x4 1	2(x 1)				.
	x4 1	2(x 1)	2(x2 1)

4.Разложить в сумму простейших дробей 2x 3 .

x4 x

Знаменатель дроби нужно разложить на множители

2x 3

Cx D

x(x 1)(x2 x 1)

x4 x x(x3

x 1

x2 x 1

A(x 1)(x2

x 1) Bx(x2

x 1) (Cx D)x(x 1)

x(x 1)(x

2 x 1)

Отсюда 2x 3 A(x 1)(x2

x 1) Bx(x2

x 1) (Cx D)x(x 1).

При х = 0

3 3A;

A 1.

При х = 1

1 3B; B 1. 3

При х = –1

5 2A B 2(D C);

5 2 1 1 2(D C); 3

2(D C)		10	.	(5)
2(D C)		3	.	(5)
При х = 2		3
При х = 2
1 7A 14B 2(2C D);
	1	2(2C D);
1 7 1 14
1 7 1 14	3
	3

					2(2C D)											4		.				(6)
					2(2C D)													.				(6)
															3
Объединим равенства (5) и (6) в систему и решим ее:
															10
						2(D C)																;
						2(D C)																;
															3
																				4
																				4
						2(2C D)														3		.
																				3
Сложив равенства, получим																					7
					2C								14	; C							7		.
					2C									; C									.
							3													3
Теперь D C			10		; D	7			5		; D						12		;			D 4.
6				3			3								3
	2x 3	1			1					7		x 4
												x 4
Итак,								3							.
Итак,								x2 x 1							.
	x4 x x				3(x 1)			x2 x 1

По теореме 3 интегрирование всякой правильной рациональной дроби сводится к интегралам от простейших дробей четырех типов:

;

II.

, 1;

(x a)

x a

III.

ax b

dx;

IV.

ax b

dx; 1.

px q

px q)

Рассмотрим методы интегрирования этих дробей:

t x a;

C ln

x a

dx dt.

t 1

II.

t x a;

(x a)

dx dt.

(1 )(x

ax b

III. Интегралы

dx вычисляются

x2 px q

аналогично. Метод их вычисления разберем на примерах.

Примеры:

1.	3x 2	dx I.
	x2 2x 7

а) Выделяем полный квадрат в знаменателе:

x2 2x 7 (x2 2x 1) 1 7 (x 1)2 6;

	I		3x 2			.

		(x 1)2 6
б) Делаем замену x 1 t;dx dt; x t 1:
I	3(t 1) 2			dt	3t 5		dt.

	t2 6				t2 6

в) Записываем интеграл в виде суммы двух интегралов. Первый вычисляем с помощью замены, второй является табличным.

			tdt					dt			t2 6 k;								dk						dt		3				5				t
I 3						5					dk 2tdt;					3				2		5						ln		k			arctg
																				2

		t2 6					t2 6				tdt		dk		.					k			t2 6 2								6				6
		t2 6					t2 6						dk							k			t2 6 2								6				6
													2
													2
3					2			5					t					3						2		5						x 1
3					2			5					t					3						2		5						x 1
C			ln	t		6				arctg					C					ln	(x 1)				6				arctg					C
C			ln	t		6				arctg					C					ln	(x 1)				6				arctg					C
2								6					6					2								6					6
2								6					6					2								6					6
	2	ln(x2 2x 7)								5		arctg		x		1	C.
												arctg
									6
3									6				6

6x 2

Выделяемполныйквадратвзнаменателе:

2 4x

x2 4x (x2

4x 4) 4 (x 2)2 4

замена

6x 2

x 2 t;

6(t 2) 2

6t 14

tdt

(x 2)2

dx dt;

t2 4

x t 2.

d(t

t 2

3ln

t2 4

2 4

2 2

t 2

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных