Материал: 1634

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Это уравнение в полных дифференциалах. Функцию U найдем из условий

U 1 x;

pU p.

x

Имеем U 1 x dp p xp x .

Дифференцируем по x и используем второе уравнение

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

p x p.

 

 

x

 

 

Находим x С. Значит, U p xp С.

 

Общий интеграл (41) имеет вид

1 x p С1.

(42)

 

 

 

Теперь вернемся к прежней неизвестной функции y и запишем уравнение (42) так:

dy

1 x dx С1.

Интегрируя, находим y С1 ln1 x С2.

Это общее решение исходного уравнения.

2) Если дифференциальное уравнение явно не содержит x, например,

F y,y',y'' 0,

то, полагая

 

dp

 

 

y

p; y p

,

(43)

 

 

 

dy

 

получим уравнение порядка на единицу ниже:

 

dp

F y, p, p

 

0.

 

 

 

 

 

dy

Пример:

 

 

Проинтегрировать уравнение второго порядка y y 0.

Решение. Применив подстановку (43), преобразуем уравнение к виду y dp ydy 0.

Это уравнение первого порядка. Общий интеграл его есть

y 2 y2 С12.

(44)

Возвращаясь к прежним переменным x, y, записываем (44) в виде

dy

С12 y2

dx.

Интегрируя, находим arcsin

y

x С

2

,

откуда y С sin x С

2

.

 

 

С1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

Знак включен в постоянную С1.

Это общее решение исходного уравнения. Его можно преобразовать к

виду

y С3 sin x С4 cosx, где С3 С1 cosС2; С4 С1sinС2.

§11. Линейные дифференциальные уравнения

1. Однородные линейные дифференциальные уравнения имеют

вид

n P x y n 1

... P x y 0,

 

y

(45)

 

1

n

 

где Pi(x),i 1,2,3,...,n – непрерывные функции (коэффициенты уравнения). Общее решение уравнения (45) имеет вид y0 С1y1 С2y2 .. Сn yn, где y1, y2,...,yn линейно независимые решения уравнения (45) (фунда-

ментальная система решений); C1,...,Cn произвольные постоянные. Функции y1, y2,...,yn называются линейно-зависимыми, если сущест-

вуют такие постоянные С1,С2,...,Сn, не равные нулю одновременно, что С1y1 С2 y2 ... Сn yn 0; в противном случае данные функции линейно

независимы.

 

 

2. Неоднородные линейные уравнения имеют вид

 

y n P x y n 1

... P x y f x .

(46)

1

n

 

Функция f (x) называется правой частью уравнения. Общее решение

уравнения (46) имеет вид y y0 Y,

где y0 общее решение соответст-

вующего однородного уравнения (45); Y – частное решение данного неод-

нородного уравнения (46).

 

 

После нахождения фундаментальной системы решений y1,...,yn

од-

нородного уравнения (45) можно:

f (x) с помощью специальной табли-

а) найти Y по виду правой части

цы;

б) продолжить решение уравнения методом вариации произвольных постоянных.

В этом случае общее решение неоднородного уравнения (46) ищется в виде y С1 x y1 С2 x y2 ... Сn x yn, где функции Сi x , i 1,2,...,n определяются из системы уравнений

С1 x y1 С2 x y2

... Сn x yn 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0;

 

 

 

С1 x y1 С2 x y2 ... Сn x yn

 

 

 

..................................................

 

 

 

 

 

n 2

 

n 2

 

 

 

n 2

 

 

 

 

 

 

 

С1 x y1

С2 x y2

 

... Сn x yn

 

0;

С x y n 1

С x y n 1

... С x y

n 1

f (x).

1

1

2

2

 

 

n

n

 

 

Примеры:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Решить уравнение

 

xy'' y' x2.

 

 

 

 

 

 

 

xy y 0,

Решение. Решая однородное уравнение

получим

(47)

(48)

 

 

 

y С1ln x С2.

 

(49)

Следовательно, можно принять

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y1 ln x и y2

1

 

 

и решение уравнения (48) искать в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y С1 x ln x С2 x .

 

 

Составляя систему (47) и учитывая, что приведенный вид уравнения

(48) есть y'' y'/ x x, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С x ln x С x

1 0;

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

С1 x

С2 x 0 x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

Отсюда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

x3

 

С x

A и С

2

x

ln x

B,

 

 

 

1

3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

9

 

и, следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

x

 

A ln x B,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где А и В – произвольные постоянные.

 

 

 

 

 

 

 

2. Решить уравнение

 

 

y'' y tg x.

 

 

 

 

(50)

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Общее решение соответствующего уравнения без правой части есть

y С1 cosx С2 sin x,

(51)

где С1 и С2 произвольные постоянные.

Ищем решение уравнения (50) в виде (51), считая теперь С1 и С2 неизвестными функциями.

Условия (47) принимают вид

С1 cosx С2 sin x 0;С1sin x С2 cosx tgx.

Отсюда находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С1 tgx sinx;

 

 

 

С2 sinx;

 

 

С1 tgx sinxdx;

 

 

 

С2 sin xdx;

 

 

С ln

cosx

 

sinx С

3

;

С

2

cosx С

4

.

 

 

 

1

1 sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя в (51), получаем общее решение

 

 

 

 

cosx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y ln

 

 

sinx С3 cosx cosx С4 sinx;

1 sinx

 

 

 

cosx

 

 

 

 

 

 

 

 

y cosx ln

 

С3 cosx С4 sin x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

§12. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка

спостоянными коэффициентами

1.Однородные уравнения. Линейное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами p и q без правой части имеет вид

y py qy 0.

(52)

Если k1 и k2 корни характеристического уравнения

 

k k2 pk q 0,

(53)

то общее решение уравнения (52) записывается в одном из следующих трех видов:

1) y С1ek1x С2ek2x, если k1 и k2 вещественны и k1 k2; 2) y ek1x С1 С2x , если k1 k2;

3) y e x С cos x С

2

sin x , если k

i и k

2

i 0 .

1

1

 

 

2. Неоднородное уравнение. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения

y py qy f (x)

(54)

можно записать в виде суммы

y y0 Y,

где y0 общее решение соответствующего уравнения (52) без правой части, определяемое по формулам (1)–(3); Y – частное решение данного уравнения (54).

Функция Y может быть найдена методом неопределенных коэффициентов в простейших случаях, указанных в таблице.

Вид f x

 

Вид частного решения Y

правой части

не является корнем ха-

является корнем характе-

уравнения

рактеристического урав-

ристического уравнения

 

нения

 

 

 

f x Pn x

1.1. 0 не корень,

 

1.2. 0 корень кратности r,

многочлен сте-

Y Qn(x)

– многочлен

 

Y xrQn x

пени n

степени n

 

 

 

f x e xP x

2.1. не корень,

 

2.2. корень кратности r,

n

Y e xQn x

 

Y xr e x Qn x

 

 

f x e x

3.1. i не корень,

 

3.2. i корни крат. r,

[P x cos x

Y e x[SN x cos x

 

Y xr e x[SN x cos x

n

TN x sin x],

 

TN x sin x],

Q x sin x]

 

m

здесь SN x ,TN x мно-

Здесь SN x ,TN x много-

 

 

гочлены степени

 

члены степени N max n,m

 

N max n,m

 

 

Многочлены Qn,Sn,Tn берутся с неопределенными коэффициентами:

 

Q A; Q x Ax B;

Q x Ax2 Bx C;

 

0

1

2

 

Q x Ax3

Bx2

Cx D и т.д.

3

 

 

В общем случае для решения уравнения (54) применяется метод вариации произвольных постоянных.

Примеры:

1. Найти общее решение уравнения

 

1

 

1

 

1

x

 

y

y

 

 

 

y 3e2 .

(55)

 

2

2

 

 

 

 

 

 

Решение. Характеристическое уравнение r

2

 

1

r

1

0 имеет корни

 

 

2

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

1; r

 

, так что общее решение соответствующего уравнения без

 

1

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С ex С

 

x

 

 

 

 

 

 

правой части есть y

 

 

 

 

 

 

 

 

0

e 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Остается найти какое-либо частное решение Y уравнения (55). Правая часть (55) имеет вид, указанный в случае 2.1 таблицы, причем P x 3 многочлен нулевой степени и число 1/2 не является корнем характе-

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных