Материал: 1634

Уравнение y 1 x2 есть особый

4

интеграл. Он получается следующим

(37) принимает вид

x 2p;y p2.

Исключив p, получаем, что

y 1 x2. 4

Рис. 2

§9. Составление дифференциальных уравнений

Процесс составления дифференциального уравнения по условию задачи (геометрической, физической или технической) состоит в том, что мы выражаем на математическом языке связь между переменными величинами и их бесконечно малыми приращениями. Иногда дифференциальное уравнение получается без рассмотрения приращений за счет того, что они учтены заранее. Так, представляя скорость выражением dS /dt, мы не привлекаем приращений S, t, но они фактически учтены, ибо

dS lim S . dt t 0 t

При составлении дифференциальных уравнений первого порядка бесконечно малые приращения сразу же заменяются соответствующими дифференциалами. Погрешность, возникающая при этом, автоматически устраняется при переходе к пределу. Вообще всякую бесконечно малую величину можно заменить ей эквивалентной, например, бесконечно малую дугу соответствующей хордой, или наоборот.

Исчерпывающих правил для составления дифференциальных уравнений дать нельзя.

Примеры:

1. Найти кривую, проходящую через точку 3;2 , для которой отрезок любой ее касательной, заключенный между координатными осями, делится пополам в точке касания.

Решение. Пусть M x, y есть середина касательной АВ, по условию являющаяся точкой касания. Точки А и В – это точки пересечения каса-

тельной с осями Oy и Ox. По условию, OA 2y и OB 2x. Угловой коэффициент касательной к кривой в точке M x, y равен

dy OA y. dx OB x

Это и есть дифференциальное уравнение искомой кривой. Преобразовав, получим

dx dy 0, x y

и, следовательно,

ln x ln y lnС, или xy С.

Используя начальное условие, определим С 3 2 6. Итак, искомая кривая есть гипербола xy 6.

2. В резервуаре имеется 100 л водного раствора, содержащего 10 кг соли. Каждую минуту 2 л раствора вытекает из резервуара, а 3 л пресной воды притекает в него. Перемешивание сохраняет одинаковую концентрацию соли во всем резервуаре. Сколько соли останется в резервуаре через час?

Решение. Обозначим через x количество соли в резервуаре (в кг), через t – время, отсчитываемое от начального момента (в минутах).

За промежуток времени dt из резервуара уходит ( dx) кг соли ведь x

– убывающая функция времени, значит, dx – отрицательная величина, а ( dx) – положительная .

Чтобы составить уравнение, вычислим убыль соли иным путем. В момент t в резервуаре находится (100+t) л жидкости (притекло 3t л и утекло 2t л); в ней растворено x кг соли. Значит, в 1 л раствора содержится x/ 100 t кг соли. За время dt из резервуара вытекает 2dt л раствора; зна-

чит, количество соли уменьшится на x 2dtкг.

100 t

Получаем дифференциальное уравнение

dx 2xdt . 100 t

Разделяя переменные и учитывая начальные условия t0 0; x0 10, получаем

3. Для моста строится «каменный бык» высотой в 12 м с круговыми горизонтальными сечениями. «Бык» рассчитан на нагрузку p 90 т(помимо собственного веса). Плотность мате-

риала 2,5т/м2. Допустимое давле-

ние составляет k 300т/м2. Найти площади верхнего и нижнего оснований, а также форму осевого сечения «быка» (при наиболее экономном расходе стройматериалов).

Решение. Площадь S0 верхнего

Площадь S горизонтального сечения возрастает с понижением уровня, ибо, помимо нагрузки P, на площадь S давит вышележащая часть «быка».

Обозначим через x расстояние сечения S (MN на рис. 3) от верхнего основания. Выделим бесконечно малый горизонтальный слой MNnm. Площадь его нижнего основания mn превышает пощадь верхнего основания MN на dS. Поэтому у нижнего основания предельная нагрузка на k dS больше, чем у верхнего. С другой стороны, нагрузка mn больше, чем нагрузка сечения MN на величину, равную весу слоя MNmn, т.е. на S dx (мы считаем, что слой MNmn – цилиндрический). Получаем дифференциальное уравнение k dS S dx.

Чтобы найти площадь S1 нижнего основания, надо подставить x 12 (при S0 0,3; 2,5; k 300). Переходя к десятичным логарифмам, получим

lg S1 M 2,5 12, 0,3 300