Материал: 1634

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Здесь

x 1

Отсюда U 1

dx y x

Дифференцируем U

по y,

находим

(по усло-

y 1

вию), отсюда y 1 и y y C.

Окончательно

получаем

U x y/x y С,

следовательно,

x y/ x y С 0

есть

искомый общий интеграл данного уравнения.

Подставляя начальные данные,

находим С 3.

Частный интеграл урав-

нения x y/ x y 3.

Интегрирующий множитель. Если левая часть уравнения (27) не является полным дифференциалом и не выполнены условия теоремы Коши, то существует такая функция x, y (интегрирующий множитель), что

Pdx Qdy dU.

Отсюда получаем, что функция удовлетворяет уравнению

( P) Q .y x

Интегрирующий множитель легко находится в двух случаях:

	1	P		Q
1)	1	P		Q	F x , тогда x ;
1)					F x , тогда x ;
		y		x
	Q	y		x
	1	P	Q				x , тогда y .
2)	1	P	Q		F
2)					F
		y		x		1
	P	y		x

Пример:

Решить уравнение 2xy

Решение. Здесь P 2xy

1 P Q y

следовательно, x .

x2 y y3 dx x2 y2 dy 0. 3

x2 y y3 ; Q x2 y2 и

	3
Q	2x x2 y2 2x
		1,
		1,
	x2 y2
x	x2 y2

Так

как

или

то

dx dx и ln x; ex.

Умножая уравнение на ex, получим

2xy x2 y

dx ex x2

y2 dy 0

уравнение в полных диффе-

ренциалах.

Проинтегрировав его, будем иметь общий интеграл

С.

§7. Дифференциальные уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной

Дифференциальные уравнения 1-го порядка высших степеней.

Если уравнение

F x, y, y 0,

(28)

например, второй степени относительно y , то, разрешая уравнение (28) относительно y , получим два уравнения:

y f1 x,y ;

y f2 x,y .

(29)

Таким образом, через каждую точку M0 x0, y0 некоторой области плоскости проходят, вообще говоря, две интегральные кривые. Общий интеграл уравнения (28) в этом случае имеет вид

Φ x, y,C Φ1 x, y,C Φ2 x,y,C 0,

(30)

где Φ1 и Φ2 общие интегралы уравнений (29).

Кроме того, для уравнения (28) может существовать особый интеграл. Геометрически особый интеграл представляет собой огибающую семейства кривых (30) и может быть получен в результате исключения С из системы уравнений

Φ x, y,C 0;	ΦC x,y,С 0	(31)
или в результате исключения p y из системы уравнений
F x, y,C 0;	FP x, y,С 0.	(32)

Заметим, что кривые, определяемые уравнениями (31) и (32), не всегда являются решениями уравнения (28), поэтому в каждом отдельном случае необходима проверка.

Пример:

Найти общий и особый интегралы уравнения xy 2 2xy y 0.

			получаем два однородных уравне-
Решение. Решая относительно y ,
ния:
y 1		;	y 1		,
	1 y/ x			1 y/ x

определенных в области x x y 0, общие интегралы которых имеют вид

;

или

2x y C 2

0; 2x y С 2

x2 xy

Перемножая, получим общий интеграл данного уравнения

или

2x y С 2 4 x2 xy 0,

y С 2

4Сx (семейство парабол).

Дифференцируя общий интеграл по С и исключая С, найдем особый интеграл

x y 0.

Проверка показывает, что x y 0 есть решение данного уравнения. Особый интеграл можно также найти, дифференцируя

xp2 2xp y 0 по p и исключая p.

Решение дифференциального уравнения методом введения пара-

метра. Если дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет вид x y, y , то переменные y и x могут быть определены из системы

;

x y, p ,

p dy

где p y играет роль аргумента.

Аналогично если y x, y ,

то

y и x определяются из системы урав-

нений

;

y x, p .

Пример:

Найти общий и особый интегралы уравнения y y 2 xy x2 . 2

Решение. Делая подстановку y p, перепишем уравнение в виде y p2 xp x2 .

Дифференцируя по x и считая p функцией от x, имеем p 2pdp p x dp x,


		dx			dx
или
	dp	2p x 2p x , или				dp	1.
	dx					dx
Интегрируя, получим p x С. Подставляя в первоначальное урав-
нение, имеем общее решение
y x С 2 x x С			x2	,	или y C2 Сx			x2	.
y x С 2 x x С				,	или y C2 Сx				.
2					2

Дифференцируя общее решение по С и исключая С, получаем особое решение y x2 /4. Проверка показывает, что y x2 /4 есть решение дан-

ного уравнения.
Если приравнять нулю множитель 2p x,		на который было произве-
дено сокращение,	то получим p x/2, подставив p в данное уравнение,
получим y x2 /4	то же самое особое решение.
	§8. Уравнения Лагранжа и Клеро
Уравнение Лагранжа. Уравнение вида
	y x p p ,		(33)

где p y , называется уравнением Лагранжа.
При помощи дифференцирования, учитывая, что dy pdx,			уравнение
(33) сводится к линейному относительно x:			(34)
	pdx p dx x p p dp.		(34)

Если p p , то из уравнений (33) и (34) получаем общее решение в

параметрическом виде

x Сf p g p ; y Cf p g p p p ,

где p – параметр; f p ,g p некоторые известные функции.

Кроме того, может существовать особое решение, отыскиваемое обычным приемом.

Пример:

Решить уравнение Лагранжа

y 1 y x y 2.

Решение. Делаем подстановку y p:

y 1 p x p2.

Дифференцируем равенство

pdx 1 p dx x 2p dp.

После преобразований получаем
	dx	x 2p линейное уравнение.		(35)

	dp
Решаем его подстановкой x u ,
где u, неизвестные функции.
			u 2p;
u u

(36)

u u u 2p.

Найдем u из условия u u 0.

du u. dp

Разделим переменные:

du dp. u

Проинтегрировав, получаем

lnu p;

u e p.

Подставляем u в уравнение (36):

e p 2p;

2p ep.

Проинтегрируем

2pepdp 2pep 2 epdp 2pep 2ep C.

Значит, решение линейного уравнения (35) имеет вид

x u e p 2pep 2ep C 2p 2 Ce p;

y 1 p 2p 2 Ce p p2 Ce p 1 p 2 p2.

Уравнение Клеро. Если в уравнении (33) p p, то получаем уравнение Клеро

y px p .

Общее решение его имеет вид y Сx С (семейство прямых касающих некоторой кривой L). Кроме того, существует особое решение (огибающая, сама кривая L), получающееся в результате исключения параметра p из системы уравнений


x p ;	(37)
	(37)
y px p .

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных