Материал: 1634

Если для некоторого значения y y0 мы имеем g y0 0, то функция y y0 является также решением уравнения (8) (в чем непосредственно легко убедиться). Аналогично прямые x a и y b будут интегральными кривыми уравнения (8а), если a и b являются соответственно корнями

где C C1.

При делении на y мы могли потерять решение y 0, но последнее содержится в формуле (11) при C 0.

Используя заданное начальное условие, получим C 2, и, следовательно, искомое частное решение есть

y 2. x

2. Решить дифференциальное уравнение

tg xsin2 y dx cos2 x ctg ydy 0.

Решение. Обе части уравнения разделим на sin2 y cos2 x, получим

Проинтегрировав обе части уравнения, найдем общее решение

Некоторые дифференциальные уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными.Дифференциальные уравнения вида y f ax by c b 0 приводятся к уравнениям вида (1) при помощи замены u ax by c, где u – новая искомая функция.

Пример:

Решить дифференциальное уравнение

y 8x 2y 1 2.

Решение. Обозначим u 8x 2y 1, тогда

Перепишем дифференциальное уравнение, используя обозначения

Решим полученное уравнение с разделяющимися переменными du (2u2 8)dx;

du

2(u2 4) dx;

1arctgu x C.

4 2

Полученное решение уравнения (12) после элементарных преобразований имеет вид

u 2tg 4(x C) .

Вспоминая вид u, получим решение исходного уравнения

8x 2y 1 2tg4 x C .

§4. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка

функция, преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными. Можно также применять подстановку x yu.

Примеры:

1. Найти общее решение уравнения

y

y ex y. x

Решение. Полагаем y ux, тогда

u xu eu u,

или

e udu dx. x

Интегрируя, получим

u lnlnC. x

2. Проинтегрировать дифференциальное уравнение xdy ydx x2 y2dx.

Решение. Преобразуем данное однородное уравнение к виду

Сделаем подстановку y ux:

u xu u 1 u2 .

Получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

lnu 1 u2 ln x lnC;

u 1 u2 Cx.

Подставляя u y , имеем решение исходного уравнения x

или после элементарных преобразований

y C x2 1 . 2 2C

Заметим, что x 0 также является решением исходного уравнения.

Уравнения, приводящиеся к однородным.

Если

и постоянные, которые определяются из системы уравнений

a1 b1 c1 0;a2 b2 c2 0,

получим однородное дифференциальное уравнение относительно переменных u и . Если 0, то, полагая в уравнении (14) a1x b1y u, получим уравнение с разделяющимися переменными.

Примеры:

1. Решить уравнение

2 1

2 5 0;

2 4 0

и решим ее: 1; 2.

Полагаем x u 1; y 2. Теперь исходное уравнение запишем в

переменных u и :

2 u 1 2 4 d u 1 2 2 5 du 0.

Решаем его:

2u d u 2 0;

u

Получили однородное дифференциальное уравнение. Делаем подстановку t u :

t u t 1 2t; 2 t

Сделаем элементарные преобразования, обозначив C2 C.

C y 2 2 x 1 2 y x 3 2 ;y x 1 2

C y x 3 y x 1 y x 3 2 ;

y x 1 2

C y x 1 3 y x 3 .