Материал: 1634

u 4u 1; 2u 1

2u 1du dx;

4u 1

Это выражение является решением исходного уравнения. Преобразуем его, учитывая, что u x 2y 1:

4 x 2y 1 ln x 2y 11 8x 8C, 4

или

ln4x 8y 5 8y 4x C.

§5. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

иназывается однородным линейным дифференциальным уравнением.

Вэтом случае переменные разделяются и общее решение уравнения

(16) есть

Для решения неоднородного линейного уравнения (15) применяем так называемый метод вариации произвольной постоянной. Этот метод состо-

ит в том, что сначала находим общее решение соответствующего однородного линейного уравнения, т.е. соотношение (17). Затем, полагая в этом соотношении величину С функцией от x, ищем решение неоднородного уравнения (15) в виде (17). Для этого подставляем в уравнение (15) y и y , определяемые из (17), и из полученного дифференциального уравнения определяем функцию C x . Таким образом, общее решение неоднородного уравнения (15) получаем в виде

y C x e P x dx.

Пример:

Решить уравнение

Решение. Соответствующее однородное уравнение есть

откуда ln y 1ln1 x2 lnC , или y C1 x2.

2

Это решение однородного уравнения.

Считая С функцией от x, дифференцируя, находим

y (C1 x2 )' dC 1 x2 Cx .

Подставляя y и y в уравнение (18), получаем после упрощений

Отсюда получаем выражение С через x:

Итак, общее решение уравнения (18) будет

y 1 x2 C1 1 x2.

Для решения линейного уравнения (1) можно также применить под-

становку

Решение. Полагаем y u . Тогда уравнение (22) принимает вид

Решая его, получим

u 1 . cosx

Константу С, возникающую при интегрировании уравнения (24), здесь отбрасываем. Найденное значение u подставляем в (23) и после преобразований имеем

d cos2 x, dx

откуда υ cos2 xdx 1 x 1cos2x C. 2 4

Следовательно, общее решение уравнения (22) имеет вид

Уравнение Бернулли. Уравнение 1-го порядка вида y P x y Q x y ,

где 0 и 1, называется уравнением Бернулли. Оно приводится к ли-

нейному с помощью постановки z y1 . Можно также непосредственно применять подстановку y u или метод вариации произвольной постоянной.

Примеры:

Получили линейное уравнение. Решим его методом вариации произвольной постоянной.

Решаем однородное уравнение

2z 4 z, x

проинтегрируем

получаем, что z Сx2.

Считая, что С С x функция от x, подставляем найденное выражение для z в (25):

2 C x2 2Cx 4Cx2 x. x

После упрощений

C 1 x,

2

интегрируя, находим С:

C1ln x C1. 2

Следовательно, общее решение уравнения (25) имеет вид

Для определения функции u потребуем выполнения соотношения

u u 0, x

откуда

u 1. x

Подставляя это выражение u в уравнение (26), получим

или 2;

d dx.

2

отсюда находим :

1 x С,

или 1 . x C

выполнено равенство

P Q,y x

то уравнение (1) может быть записано в виде dU x, y 0 и называется

уравнением в полных дифференциалах. Общий интеграл уравнения (27)

есть U x, y С. Функция U x, y определяется по формуле

и, следовательно, уравнение имеет вид dU 0.