Материал: 1634

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Вариант 21

Вариант 22

1. а)

cos8 x

6 dx;

а)

sin2 xcos6 xdx;

4 x

dx;

x 2 x 2

б)

dx;

x 12

x 2 x 2 x 2

в)

cos5xcosxdx.

в)

2ln2

2. а) x

ln2

y 2

, x 4y 8;

б) r 3

2 cos ,

r 5

2 cos .

а)

cos5xsin2x,

y 0,

0 x

;

y ex 13,

x ln

б) r 4cos4 .

y 0,

y 1, x 0,5.

y ln x2 1 ,

2 x 3.

x 1,

y ln x, x 2,

y 0.

Вариант 23

Вариант 24

1. а)

24 sin4 x cos4 xdx;

а)

28 sin6 xcos2 xdx;

5 x 224 dx;

б)

6 x dx;

б)

x 24

x 14

x sin x

в)

cos3 xsin2 xdx.

в)

dx.

1 cosx

а) x 4 y

x y

-2y;

2. а)

(1 x2), y

x 1;

б) r 2cos ,

r 3cos .

б) r sin 6 .

y ex 6,

x ln

15.

1 x2

arccosx,

0 x 8

y2 x 2,

y 0, y x3,

y 1.

4. y x 1 2, y 1.

Вариант 25

Вариант 26

cos8 x

2 dx;

1. а)

28 sin8 xdx;

а)

9 2x

1 x

б)

dx;

2x 21

б) e 1 x

;

(1 x)

1 x

в)

ex cosxdx.

в)

1 x

2. а) y x2

16 x2 , y 0, 0 x 4;

2. а) y

, y 0, x 2, x 1;

б) r 2sin 4 .

б) r cos sin .

3. y ln

x x2 ,

y 2 arcsin

x 1.

y x

y arccos

, y 0.

Вариант 27

Вариант 28

4 cos6 x

4 dx;

1. а)

sin2

1. а)

24 sin6xcos2 xdx;

5 x

б) e 5 x

;

б)

x 2 x

dx;

(5 x) 25 x2

0 x 2 x3 3 x4

в) (x 1)e xdx.

в) x(1 x)2dx.

2. а) y (x 1)2, y2 x 1;

2. а) x

4 y2

, x 0, y 0, y 1;

б) r 2cos6 .

б) r cos sin .

ln x

y lncosx,

0 x

3. y

, 1 x 2.

y x2 2x 1, x 2, y 0.

y arcsin x, y arccosx, y 0.

Вариант 29

Вариант 30

1. а)

sin4xcos4 xdx;

1. а)

28 sin8xdx;

6 x 2

4 1 x 3x 1

б)

dx;

б)

dx;

(x 2)2

x 1

0 3x

1 4 1 x 3x

xsin x

xdx

в)

dx.

1 x4

cos

2. а) x 4 (y 1)2, x y2 4y 3;

2. а)

y x2 cosx, y 0,

0 x

;

б) r 6sin ,

r 4sin .

б) r 3sin ,

r 5sin .

y ln x,

3 x 15.

1 x2

arcsin x,

0 x

y arccosx,

y arcsinx,

x 0.

y x3,

y x.

Раздел 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§1. Основные понятия

Уравнение вида

	n	0,	(1)
F x,y,y ,...,y

где y y x – искомая функция, называется дифференциальным уравнением n-го порядка. Любая функция y x , обращающая уравнение (1) в тождество, называется решением этого уравнения, а график этой функции

– интегральной кривой. Если решение задано в неявном виде x, y 0, то оно обычно называется интегралом.

Пример:

Проверить, что функция y sin x является решением уравнения y" y 0.

Решение. Имеем y' cosx; y" sin x и, следовательно, y" y sin x sin x 0.

Интеграл
Φ x, y,C1,C2,...,Cn 0	(2)

дифференциального уравнения (1), содержащий n независимых произвольных постоянных C1,...,Cn и эквивалентный (в данной области) уравнению (1), называется общим интегралом этого уравнения. Придавая в соотношении (2) постоянным C1,...,Cn определенные значения, получаем част-

ный интеграл уравнения (1).

Начальные условия. Если для искомого частного решения y y x дифференциального уравнения

y	n		n 1		(3)
		f x, y, y ,...,y

заданы начальные условия (поставлена задача Коши)

y x0 y0, y x0 y0,...,y n 1 x0 y0n 1

и известно общее решение уравнения (3)

y x,C1,C2,...,Cn ,

то произвольные постоянные C1,...,Cn определяются, если это возможно, из системы уравнений

	y0 x0,C1,C2,...,Cn ;
	y0 x0,C1,C2,...,Cn ;
	y0 x0,C1,C2,...,Cn ;
.................................
	n 1	x				.
y	n 1	x	,C ,C	,...,C	n	.
	0	0	1 2		n

Пример:

Найти кривую семейства

y C1ex C2e 2x,

для которой y 0 1; y 0 2.

Решение. Имеем

y C1ex 2C2e 2x.

Полагая в формулах (4) (5) x 0, получим

1 C1 C2; 2 C1 2C2 ,

откуда C1 0; C2 1, и, следовательно, y e 2x искомая кривая.

§2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

(4)

(5)

Виды дифференциальных уравнений 1-го порядка. Дифференци-

альное уравнение 1-го порядка с неизвестной функцией y, разрешенное относительно производной y , имеет вид

y f x, y ,

(6)

где f x, y данная функция. В некоторых случаях выгодно за искомую


функцию считать переменную x и записывать уравнение (6) в виде
		x g x,y .			(6а)
Учитывая, что y	dy	и x	dx	, дифференциальные уравнения (6) и
	dx		dy
(6а) можно записать в симметрической форме
		P x, y dx Q x, y dy 0,			(7)

где P x, y и Q x, y известные функции.

Под решением уравнения (7) понимаются функции вида y x или x y , удовлетворяющие этому уравнению. Общий интеграл уравнения

(6)или (6а) или уравнения (7) имеет вид

Φx, y,C 0,

где С – произвольная постоянная.

Поле направлений. Совокупность направлений tg f x, y называется полем направлений дифференциального уравнения (6) и изображается при помощи системы черточек с углом наклона .

Кривые f x, y k, в точках которых наклон поля имеет постоянное значение, равное k, называются изоклинами. Построив изоклины и поле направлений, в простейших случаях можно приближенно нарисовать поле интегральных кривых, которые в каждой своей точке имеют заданное направление поля.

Пример:

Методом изоклин построить поле интегральных кривых уравнения y x.

Решение. Построив изоклины x k (прямые линии) и поле направлений, приближенно получаем поле интегральных кривых. Общим решением является семейство парабол y x2 /2 C (рис.1).

Т е о р е м а Коши. Если функция

Рис. 1	f x, y непрерывна в некоторой

области U a x A,b x B и имеет в этой области ограниченную производную fy x,y , то через каждую точку x0, y0 , принадлежащую U,

проходит одна и только одна интегральная кривая y x уравнения (6)

x0 y0 .

§3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

с разделяющимися переменными

Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение 1-го порядка вида

y f x g y ,	(8)
или
X x Y y dx X1 x Y1 y dy 0.	(8а)
Разделив обе части уравнения (8) на g y и умножив на dx,	будем

иметь

g y f x dx.

Отсюда, интегрируя, получим общий интеграл уравнения (8) в виде


		dy		f x dx C.			(9)
		g y
Аналогично, разделив обе части уравнения (8а) на X1 x Y y и проин-
тегрировав, получим общий интеграл уравнения (8а) в виде
	X x		dx		Y1 y	dy C.	(9а)

	X1 x				Y y

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных