Материал: 1634

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Если

кривая задана параметрически

x x(t)

a x( ),

, t ,

b x( ),

y y(t)

то для вычисления дуги кривой в формуле (1) сделаем замену

x x(t), dx x'(t)dt. Получаем

1 y '2dx

y '(t)

x '(t)dt

x'(t) 2

y '(t) 2dt .

x'(t)

Итак,

x'(t) 2 y'(t) 2dt.

Если кривая задана в полярных координатах r r( ), , причем производная r '( ) существует и непрерывна на , (рис. 28), точкам A и B соответствуют значения углов и . Для нахождения длины дуги кривой переходим от прямоугольных координат к полярным:

x rcos , x' r 'cos rsin ;

y rsin , y ' r 'sin rcos .

y	В	r r( )
	β	А
0	β	α
0		x
		x
		Рис. 29

В результате формула (1) принимает вид


		r2( ) r '( ) 2d .
	L	r2( ) r '( ) 2d .

Дифференциал дуги

Заменим в формуле (1)

верхний предел на

x, получим длину изме-

няющейся дуги l(x) 1 f '(t) 2dt .

Найдем производную функции l(x)

по теореме о производной инте-

грала с переменным верхним пределом:

l '(x)

1 f '(t)

1 f '(x) .

Поэтому дифференциал дуги dl равен

dl l '(x)dx 1 f '(x) dx 1

dx,

(dx)2 (dy)2

		Геометрический смысл
	M	y f (x)	На рис. 30:
	1		dx – приращение переменной;
			dx – приращение переменной;
dl		M' касательная	dy – приращение касательной;
M0		dy	dl	– дифференциал дуги – гипо-
dx		M''	тенуза	M0 M 'M '';	длина отрезка
			касательной к кривой		y f (x) при
x0	x0 x		x0 x x0 x.
Рис. 30
		Объем тела вращения

Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную кривой y f (x), прямыми x a; x b; y 0 (рис. 31). Объем тела, которое получается при вращении трапеции вокруг оси Ox, равен

Vx y2(x)dx.

	y f (x)
a	b
0	x	a	b
		a	b
		Рис. 32
	Рис. 31
Если трапеция вращается вокруг оси Oy (рис. 32), то получившийся
объем равен

Vy 2 x y(x)dx.

	a
	Площадь поверхности вращения
Пусть y f (x),	x a, b – непрерывная кривая, причем	f (x) 0 на

a, b , производная y ' f '(x) непрерывна на a, b .

Поверхность, образованная вращением кривой вокруг оси OX ,							имеет
площадь					b
					b
			S 2 f (x) 1 f '(x) 2dx.
					a
Если кривая	задана в				параметриче-
x x(t)		t	t t		, то
ском виде	,	t	t t		, то
y y(t)		1		2
t2	x'(t) 2 y'(t) 2dt .
S 2 y(t)	x'(t) 2 y'(t) 2dt .					b
t1					a	b
t1
Если кривая задана в полярных коор-
динатах r r( ),	, то
			r2 r ' 2d .
S 2 rsin			r2 r ' 2d .
					Рис. 33
					Рис. 33
Физические приложения определенного интеграла

Пусть на плоскости xOy задана система материальных точек

A1(x1, y1), A2(x2, y2), … , An(xn, yn) с массами m1, m2, ..., mn .

Статическим моментом Mx этой системы относительно оси Ox называется сумма произведений масс этих точек на их ординаты:

Mx mi yi .

i 1

Аналогично статический момент системы относительно оси Oy равен

M y mi xi .

i 1

Моментами инерции Ix и Iy системы относительно осей Ox и Oy на-

зываются суммы вида I		n	2	; I		n	2 .
зываются суммы вида I	x	m y	2	; I	y	m x	2 .
	x	i	i		y	i	i
		i 1				i 1

За статические моменты и моменты инерции плоских дуг и фигур принимаются соответственно моменты условных масс, равномерно распределенных вдоль этих дуг и фигур, с плотностью (линейной или плоскостной), равной единице.

Статические моменты и моменты инерции дуги плоской кривой y f (x) (a x b) вычисляются по формулам

b	b
Mx ydl;	M y xdl ;

b	b
Ix y2dl;	Iy x2dl,
a	a

где dl 1 (y ')2dx – дифференциал дуги кривой.

Статические моменты и моменты инерции криволинейной трапеции,


ограниченной кривой							y f (x), осью Ox и прямыми			x a;	x b, вычис-
ляются по формулам
		1b			1b			2
Mx			ydS			y			dx;
Mx			ydS			y			dx;
		2a			2a
		b		b
M y	xdS xydx;
		a		a

Ix 1b y3dx;

b b

Iy x2dS x2 ydx.

a a

Здесь dS ydx – дифференциал площади криволинейной трапеции.

Пример:

y bsint

Найти момент инерции площади эллипса x acost ;

относи-

тельно оси Oy.

Решение. Момент инерции площади эллипса относительно оси Oy

равен Iy

x2dS , где dS 2ydx.

dS 2bsint a( sint)dt

Из

параметрических

уравнений

эллипса

2absin2 tdt , откуда

Iy 2 a2 cos2 t 2absin2 t dt 4a3b sin2 tcos2 tdt

a3b

a b (1 cos4t)dt

Координаты

центра

тяжести

однородной

дуги

плоской

кривой

y f (x), a x b вычисляются по формулам

1 b

xdL;

ydL,

где dL

1 (y ')2

dx, а L – длина дуги.

Координаты центра тяжести криволинейной трапеции вычисляются по формулам

1 b

xdS

xydx;

ydS

dx.

S a

2S a

Теоремы Гульдена

Те о р е м а 1 . Площадь поверхности, полученной при вращении дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости этой кривой и не пересекающей ее, равна длине дуги кривой, умноженной на длину окружности, описанной центром тяжести дуги.

Те о р е м а 2 . Объем тела, полученного при вращении плоской фигуры вокруг оси, не пересекающей ее и расположенной в плоскости фигуры, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести фигуры.

Пример:

Найти координаты центра тяжести фигуры,

ограниченной

дугой

эллипса

x acost ;

y bsint,

расположенной в I

четверти, и осями

координат (рис. 34).

Решение. При изменении

от 0 до a пе-

ременная t убывает от

до 0, поэтому

Рис. 34

a2b

1 a

1 0

xydS

acost bsint( asint)dt

sin2 tcost dt

a2b1

sin

a2b

4a2b 4a

Так как площадь эллипса S ab, то x

Аналогично

3 ab

2ab2 0

1 a

1 0

sin

t( asint)dt

t)d(cost)

(1 cos

2S 0

	2b	cost			1		cos3 t			0		4b
													.

					3							3
										2
Итак,			x	4a		;		y	4b		.
				3
									3

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных