Материал: 1634

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

									b
	О п р е д е л е н и е		4 .	Несобственным			интегралом		f (x)dx от
					b, называется				a
функции,		разрывной в	точке		b, называется			число, равное		пределу
b		t
f (x)dx		lim f (x)dx.
a		t b 0a
	Если	предел существует		и	равен	числу,	то говорят, что			интеграл
b
f (x)dx сходится.
a					В остальных случаях интеграл расхо-
					В остальных случаях интеграл расхо-
	y f (x)			дится.		Геометрический смысл
				дится.


					При	f (x) 0		на a,b несобственный
						b
				интеграл		f (x)dx		равен площади криво-
						a
				линейной трапеции с бесконечной высо-
	a	t b b		линейной трапеции с бесконечной высо-
	a	t b b		той (рис. 17).
		Рис. 17		той (рис. 17).
		Рис. 17		Пусть y f (x) определена, непрерывна на
	О п р е д е л е н и е		5 .	Пусть y f (x) определена, непрерывна на
						b			b
a,b . В точке a функция имеет разрыв. Тогда							f (x)dx lim		f (x)dx.
						a		t a 0 t
	Сходимость и расходимость определяются так же, как в предыдущем
определении.			6 . Пусть теперь функция y f (x)
	Определение		6 . Пусть теперь функция y f (x)						определена,

непрерывна на a,b , кроме точки c (a,b), в которой функция имеет раз-

рыв II рода. Тогда f (x)dx разбивается в сумму двух несобственных инте-

b	c	a	b
b	c		b
гралов	f (x)dx	f (x)dx f (x)dx.
a	a		c
		b	c
Считаем, что f (x)dx			сходится, если сходятся оба интеграла f (x)dx
		a	a
b			b
и f (x)dx. Иначе интеграл			f (x)dx является расходящимся (рис. 18).

y
a	c	b	x
	Рис. 18
§7. Приложения определенного интеграла

Площадь плоской фигуры

Площадь криволинейной трапеции, ог-

раниченной			кривой y f (x) 0,				прямыми
x a;	x b;		y 0 (рис. 19), вычисляется по
формуле				b
				b
				S f (x)dx.
				a
Площадь фигуры, ограниченной кри-
выми	y f (x);			y g(x)	f (x) g(x) , пря-
мыми	x a;		x b (рис.		20), находится по
формуле				b
				b
			S f (x) g(x) dx.
				a
Площадь криволинейной трапеции в
случае	параметрического					задания кривой
x x(t)		(рис. 21) выражается формулой
		(рис. 21) выражается формулой
y y(t)
				t2
				S y(t) x'(t)dt ,
где t1			t2	t1
где t1		и	t2	находятся		из	уравнений
a x(t1);		b x(t2) и y(t) 0 при t t1, t2 .

	y f(x)
a	b
	Рис. 19

	y f(x)
a	y g(x)b
	Рис. 20

a	b
	Рис. 21

		r r( )






		Рис. 22
	y	9

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением r r( ), прямымии ; (рис. 22), находятся по формуле

S1 r2( )d . 2

Примеры:

1. Найти площадь фигуры, ограниченной

параболой y 9 x2

и осью Ox (рис. 23).

Решение. Парабола пересекает ось Ox в точ-

ках x 3, поэтому

9 x

-3

Рис. 23

=(27 9) ( 27 9) 36(кв.ед.).

2. Найти площадь фигуры, ограниченной

параболой

y (x 1)2

гиперболой

1 (рис. 24).

вых:

Решение. Найдем точки пересечения кри-

(x 1)4

A11

x4 4x3 4x2 4x 3 0;

(x 1)(x 3)(x2

1) 0;

Рис. 24

x1 1; x2 3;

y1 0; y2 4.

Итак,					кривые пересекаются в точках A1 (1,0)																и	A2 (3,4).				Считаем
площадь:
3									dx														3	1			3

								2				2														3
				2				2				2			2					2						3
S	2 x				1 x 1								x x			1 ln		x x			1				x 1
S	2 x				1 x 1								x x			1 ln		x x			1				x 1
1			3								2												1	3			1
1											2												1	3			1
							ln(3			8				10			ln(3
		2														2
		2				8			8)							2			8) 4,58 (кв.ед.).
	2					8			8)						2				8) 4,58 (кв.ед.).
	2								3		3				2

3. Найти площадь эллипса, используя его па-

x acost

(рис. 25).

раметрическое уравнение

y bsint

Решение. Ввиду симметрии достаточно найти

площадь ¼ части эллипса, лежащую в I четверти.

Т.к. 0 x a, то t

изменяется от

до 0:

Рис. 25

при x 0

acost 0 t ;

при x a

acost a t 0.

Поэтому

S bsint a( sint)dt ab sin2 tdt

(1 cos2t)dt

sin2t

, S ab (кв.ед.).

4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной

первым витком спирали Архимеда

r a ,

0 2 (рис. 26).

Решение.

2 a

3 2

a2 (2 )3

(a )

2 0

Рис. 26

Замечание.

Т.к. OC 2 a,

то площадь S1 круга

радиусом OC равна

S (2 a)2 4 3a2 3 4 3a2 3S.

Т.е. площадь, ограниченная первым витком спирали Архимеда, в 3

раза меньше площади круга S1. Этот результат был известен Архимеду.

Длина дуги кривой

Плоская

кривая

AB задана

уравнением

y f (x),

a x b,

f (x) – непрерывная функция. Ра-

зобьем дугу AB на n произволь-

ных

частей

точками

M0 A, M1, M2,

...,

Mn B и со-

единим точки хордами. Периметр

получившейся ломаной обозначим

a = x0

xn = b

буквой P (рис. 27).

Рис. 27

Пусть l – длина звена ломаной M

i 1

;

max l

1 i n

Если

существует

конечный

предел

значений

периметра P при

0, то этот предел называется длиной дуги AB.

L lim P.

Т е о р е м а .

Если функция

y f (x)

непрерывна,

ее производная

f '(x)

непрерывна на a,

b , то длина L дуги кривой AB равна

L 1 f '(x) 2dx.

(1)

f (xi) координаты точки Mi.

Доказательство. Обозначим через xi,

Заметим,

что

a x0 x1

... xn b. Тогда длина одного звена ломаной

равна l

i 1

f (x

) f (x

2 .

По формуле Лагранжа

f (xi) f (xi 1) f '( i) xi,

где xi

xi xi 1;

i 1

x . Поэтому l

1 f

) 2

Т.о. ,периметр ломаной равен

P li 1 f '( i) 2 xi.

i 1

Данная

сумма

является

интегральной

суммой

для

функции

1 f

'(x) 2

на

a, b .

Так как функция

1 f

непрерывна на

b ,

то предел интегральной сумы при max xi 0 существует и

равен определенному интегралу.

Так как

( xi)2 ( yi)2

0 при 0,

поэтому L lim P lim

1 f '( i) 2

1 f '(x) 2dx.

0 i 1

Теорема доказана.

Пример:

Найти длину дуги кривой y x 2 при

0 x 5 (рис. 28).

Решение. y '

9 xdx

1 (y ')2dx

Рис. 28

32 5

335

9 3

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных