Материал: 1634

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

	Доказательство.						на a,b принимает свое наименьшее
	Непрерывная функция y f (x)						на a,b принимает свое наименьшее
значение m и наибольшее M на данном отрезке. То есть на a,b										верно
неравенство m f (x) M . Проинтегрировав данное неравенство с учетом
				b	b		b
свойства 9, получим mdx f (x)dx Mdx.
				a	a		a
							b
	По	свойству		5	имеем		m(b a) f (x)dx M(b a),			или
	b						a
	b
	f (x)dx
m a		M .
	b a
	Непрерывная функция принимает все промежуточные значения (тео-
рема Коши), поэтому найдется точка c a,b , для которой верно равенст-
	b
	f (x)dx
во a		f (c), из которого следует утверждение теоремы.
	b a
	§3. Определенный интеграл с переменным верхним пределом
						x
	Рассмотрим функцию Ф(x) f (t)dt , где x a,b .
						a
			y f(x)			Геометрический смысл данного интеграла
			y f(x)		в случае		f (x) 0 – площадь криволинейной
					трапеции с основанием a,x (рис. 9).
						Заметим, что Ф(x) – возрастающая функ-
					ция (при		f (x) 0).
0	a	x	b			Т е о р е м а . Связь определенного и не-
0	a	x	b		определенного интегралов.
		Рис. 9			определенного интегралов.
		Рис. 9
	Определенный			интеграл		с	переменным	верхним	пределом
	x
F(x) f (t)dt			является первообразной для f (x).
	a
	Доказательство.
	Для доказательства теоремы достаточно доказать, что F'(x) f (x).
Так как F'(x) lim				F(x x) F(x), то рассмотрим разность
			x 0		x

		x x	x	x	x x	x
F(x x) F(x)		f (t)dt f (t)dt f (t)dt			f (t)dt f (t)dt
		a	a	a	x	a
	x x
	f (t)dt f (c) (x x) x f (c) x.

Последнее равенство получено на основании теоремы о среднем значении определенного интеграла; ()с x x;x . Поэтому

	F'(x) lim	f (c) x	lim f (c) f (x).

	x 0	x	x 0
При x 0	x x x, поэтому		( )c ( )x (рис. 10).

x x

Рис. 10

Итак, F'(x) f (x). Теорема доказана. Следствие.

f (x)dx f (t)dt C.

Т е о р е м а . Формула Ньютона-Лейбница.

Рассмотрим y f (x)	непрерывную на a,b функцию. Пусть F(x)
	b
любая первообразная для	f (x) на a,b . Тогда f (x)dx F(b) F(a).
	a
	x
Доказательство. Рассмотрим Ф(x) f (t)dt . По предыдущей теоре-
	a

ме Ф(x) первообразная для f (x). По условию F(x) еще одна первообразная. Известно, что любые две первообразные отличаются на константу,

		x
то есть Ф(x) F(x) C;		a x b. Или f (t)dt F(x) C.
		a
		a
При x a	равенство имеет вид f (t)dt F(a) C, поэтому
0 F(a) C; C F(a).		a
0 F(a) C; C F(a).
x	f (t)dt F(x) F(a).
Получили	f (t)dt F(x) F(a).

При x b			b	f (t)dt F(b) F(a).

			a
Теорема доказана.
Примеры:					b
b
1. sindx cosx						cosb cosa.
a						a
1	x		3	1	3			0	3	1

2. x2dx					1						.
						3
0		3		0			3			3

Формальное использование формулы Ньютона-Лейбница без учета условий ее применимости может привести к неверному результату. Рассмотрим интеграл

1		dx			1
				arctgx				arctg1 arctg( 1)								.
	1 x		2	arctgx				arctg1 arctg( 1)								.
	1 x					1				4				4	2
1						1
Формула применена верно, так как F(x) arctgx непрерывна при всех
x, в частности на 1; 1 и F'(x) arctgx '									1	f (x). Теперь рассмот-
x, в частности на 1; 1 и F'(x) arctgx '										f (x). Теперь рассмот-
								1 x2							1
					1						1				1		2
		F (x) arcctg			1						1					x	2
рим функцию							.	Заметим, что	arcctg				'			x		. По-
рим функцию							.	Заметим, что	arcctg				'					. По-
		1				x						x			1 1x 2
						x						x			1 1x 2

1	dx		1		1
этому			arcctg
		2		x
11 x					1

arcctg1 arcctg( 1)		3			.
			2
4	4			2

Получили два разных результата вычисления одного и того же интеграла. Ошибка сделана во втором варианте вычисления. При x 0 1; 1

функция y arcctg 1 разрывна, поэтому не может быть первообразной. x

При этом если бы интеграл мы рассматривали по любому отрезку, не со-

2 dx

держащему 0, например, 11 x2 , то в качестве первообразной можно было

бы выбрать и функцию y arctgx и y arcctg 1. x

§4. Замена переменной в определенном интеграле

Т е о р е м а . Рассмотрим интеграл f (x)dx. Выполним замену

x (t); dx '(t)dt при условиях:

1.x (t) непрерывно дифференцируема на A; B .

2.a; b множество значений функции x (t).

3.y f (x) непрерывна на a; b .

	b		B	f (t) '(t)dt, где a (A);
Тогда f		(x)dx		f (t) '(t)dt, где a (A);												b (B).
	a		A
Примеры:
			замена
			замена
1	xdx		t x2 1;				1	2	dt	1			2	1	ln2 ln1 ln
			t x2 1;

1.			dt 2xdx;								ln	t					2	.
	2		dt 2xdx;								ln	t					2	.
	2					2				2				2
0	1 x		при x 0		t 1;	2		1 t		2			1	2
0			при x 0		t 1;			1 t					1
			при x 1		t 2.

	a					x asint;
	a											2
2.	x2			a2 x2dx		dx acostdt;				a4		sin2 tcos2 tdt
	0					при0 x a,0 t			.			0


	a2 2					a4 2		2
			sin2					a4			1		2	a4	a4
								a4			1		2	a4	a4
					2tdt		(1 cos4t)dt		t			sin4t				.
	4				2tdt	8	(1 cos4t)dt		t		4	sin4t				.
	4	0				8	0	8			4		0	8 2 16

Проверим правильность выполнения замены переменных в данном примере:

1)	f (x) x2	a2 x2 – непрерывна на		0;	a ;
	x asint
2)		– дифференцируема на	0;			;
				2

x' acost – непрерывна на
	0;			;
	0;		2	;
			2
3) при изменении t от 0 до		x asint возрастает от 0 до a.
3) при изменении t от 0 до		x asint возрастает от 0 до a.
2

Итак, замена выполнена верно.

3. dx x	.
0	0

Рассмотрим другой способ решения:

																														t tgx;
								dx																dx						dt					dx			;			0		dt			0 !
dx								dx																dx									cos2 x										dt
dx			sin			2	x cos						2	x						cos		2	x(1 tg				2	x)					cos2 x									1 t		2
0	0		sin				x cos							x	0					cos			x(1 tg					x)		x 0 t 0;											0	1 t
0	0														0															x 0 t 0;											0
																														x 0 t 0.
Результат 0 неверен, так как замену t tgx																																		в данном примере исполь-
зовать нельзя: функция t tgx																					разрывна при x														0,				.
зовать нельзя: функция t tgx																					разрывна при x														0,				.
	2																			2												2
	2			dx					1								x			2			1	arctg1 arctg( 1)															1
4. а)											arctg																																				.
4. а)				2	4				2		arctg						2						2																								.
	2 x				4				2								2		2				2																2 4						4 4
								x		1		;
										1

										t				dt
	2			dx										dt	;										2			dt									2				dt
	2			dx				dx t2							;										2			dt									2				dt
																								1												1
б)
б)		x2 4																		1									1
	2	x2 4																		1					1	2			1								1			4t2 1
								x 2,t													;				2 t			4									2
																															t2
																				2
																1				2
								x 2,t								1		.
								x 2,t										.
															2

			1
	1	arctg2t	2
	1

2			1
			2

4 4

Получили ошибочный результат, так как замена x 1 не может быть t

использована, потому что t 0 2; 2 точка разрыва.

§5. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле

Рассмотрим функции u u(x); v v(x) непрерывные вместе со своими частными производными u'(x), v'(x) на a, b .

d(uv) du v u dv; udv d(uv) v du.

Проинтегрируем по отрезку a, b :

b b b

udv d(uv) vdu.

a a a

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных