Материал: 1634

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

x 3

dx.

6. (7x 1)cosxdx.

(2 x)(x 4)(x 1)

7. cos35xdx.

dx.

x 1

Вариант 29

3x 1

(

7cosx

)dx.

2. e

dx.

7x 1

3. sin x(3cosx 1)4dx.

dx.

7x 2

x 5

dx.

6. x2e xdx.

(x 1)(x 8)

7. sin8xcos3xdx.

dx.

x 1

Вариант 30

1. (3sin x 2cosx x23x)dx. 3. x2 sin(3x3 4)dx.

5. (x 1)(x 11)dx.

7. sin6xcos2 xdx.

2. cos(3x 2)dx.

3x 1

4. x2 20x 2dx.

6. x 3xdx.

8. x 3x .

Раздел 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§1. Задача о площади криволинейной трапеции

	y f (x)
	T
a	b
	Рис. 1
	Решение.
a x0 x1 x2
k 1,2,...,n.

Пусть задана непрерывная функция y f (x) 0 на отрезке a,b . Задача: найти площадь криволинейной трапеции ST , то есть площадь плоской фигуры T , ограниченной кривой y f (x), прямыми y 0; x a; x b (рис. 1).

Разобьем	отрезок	a,b произвольно точками
... xk 1 xk	... xn b.	Обозначим xk xk xk 1,

f (~xk ) f (~x1)

a x

x x

1 1

k 1

n 1 x b

Рис. 2

В каждом из получившихся отрезков xk 1,xk

выберем произвольно

и вычислим значение функции

y f

в выбранных точках.

точки xk

(xk )

Составим ступенчатую фигуру из прямоугольников, основаниями которых

служат отрезки xk 1,xk , а высоты равны		~
		f (xk ) (рис. 2).
Площадь ступенчатой фигуры равна			n
~	~	~		~
Sn f (x1) x1	f (x2) x2 ... f (xn) xn		f (xk ) xk .

k 1

Получили Sn – последовательность сумм.

Можно считать, что площадь ступенчатой фигуры примерно равна площади криволинейной трапеции:

ST Sn .

Ошибка вычисления будет тем меньше, чем больше точек выбирается на a,b . Положим по определению

ST nlim Sn .

Замечание. Предел вычисляем при условии, что одновременно с увеличением числа n выполняется условие xk 0, то есть при увеличении числа точек xk нужно следить за тем, чтобы все длины отрезков xk 1,xk стремились к нулю.

a x0	x1	x2	b xn	a x0	x1	x2	b xn
		Рис. 3				Рис. 4

На рис. 3 показано правильное расположение точек на a,b , на рис. 4

– неправильное, т.к. x1,x2 при увеличении числа точек не изменяет своей длины.

§2.Определение определенного интеграла и его геометрический смысл

Пусть функция y f (x) определена на отрезке a,b . Аналогично тому, как это сделано в предыдущем параграфе, составим сумму

f (~xk ) xk . Будем называть её интегральной суммой.

k 1

О п р е д е л е н и е . Определённым интегралом от функции y f (x) на a,b называется число, равное пределу

lim	n	~
	f (xk ) xk .
n	k 1
xk 0	b
		f (x)dx или f (x)dx. При этом b
Это число обозначается символом
	a	a,b

– верхний предел, a – нижний предел интегрирования. Итак,

b	lim	n	~
f (x)dx	lim	f (xk ) xk .
a	n	k 1
	xk 0

				Геометрический смысл
y				b
				b
		y f (x)		Если f (x) 0 на a,b , то f (x)dx равен пло-
		T		a
0				щади криволинейной трапеции ST	(рис. 5).
0	a	b	x
		Рис. 5

Свойства определенного интеграла

1. f (x)dx 0.

2.f (x)dx f (x)dx.

Эти свойства очевидно следуют из определения определенного интеграла.

3. f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx.

Доказательство.

f (x) g(x)dx lim

(xk ) g(xk ) xk

n k 1

lim

(xk ) xk

g(xk ) xk

k 1

lim f (xk ) xk lim g(xk ) xk f (x)dx g(x)dx.

n k 1

4. c f (x)dx c f (x)dx.

Доказательство:

f (x)dx lim c f (xk ) xk lim c

f (xk ) xk

n k 1

c lim f (xk ) xk c f (x)dx.

n k 1

b
5. c dx c(b a).						y c
a					c	y c
a					c
Доказательство. Это свойство очевидно
из рис. 6.
6. Если a c b, то
b		c	b
f (x)dx f (x)dx f (x)dx.					a		b
a		a	c			Рис. 6
Свойство проиллюстрировано на рис. 7.
			b			y f(x)
7. Если	f (x) 0	на a,b , то		f (x)dx 0.		y f(x)
			a
8. Если	f (x) 0	на a,b , то
	b	f (x)dx 0.
		f (x)dx 0.			a	c	b
	a				a	c	b
	a

9. Если

f (x) g(x)

на a,b , то

Рис. 7

f (x)dx g(x)dx (рис. 8).

y=g(x)

y =f(x)

10.

f (x)dx

f (x)

dx.

Доказательство. Очевидно, что

f (x)

Рис. 8

Проинтегрируем по отрезку a,b .

По

свойству 9

получаем

f (x)

f (x)dx

f (x)

dx, то есть

f (x)dx

f (x)

dx.

Следствия:

1. Если на a,b верно, что	f (x) k, то	b	f (x)dx	k(b a).

		a

2. Если m наименьшее,	M наибольшее значения функции	y f (x)
b
на a,b , то m(b a) f (x)dx M(b a).
a
11. Теорема о среднем значении.
Пусть функция y f (x)	непрерывна на a,b . Тогда существует точка

c a,b ,такая, что	f (x)dx f (c) (b a).
a

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных