Материал: 1634

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

d(uv) (uv)'dx (uv)

Поэтому

udv uv

vdu.

Получили формулу интегрирования

по частям по a, b .

Примеры:

u x, du dx;

xex

1 1

1. xexdx

dv e

dx, v e

exdx (e 0) ex

e (e e0) e0 1.

u ln x,

;

2. ln xdx

xln x

(elne 1ln1) dx

dv dx,

v x.

1 1

e (e 1) 1.

1	u arctgx,					du			dx		;		1	1		xdx
1									dx				1	1
3. arctgxdx								1 x2				xarctgx
3. arctgxdx								1 x2				xarctgx				2
0	dv dx, v x.												0	0	1 x
0	dv dx, v x.												0	0
	1		x	2			1			1


(arctg1 0)		ln			1						(ln2 ln1)				ln 2.
(arctg1 0)		ln			1						(ln2 ln1)				ln 2.
	2						0	4		2				4
	2						0	4		2				4

§6. Несобственные интегралы

Определенным интегралом в собственном смысле слова (собственным интегралом) называется интеграл от непрерывной функции по конечному отрезку. При нарушении хотя бы одного из этих условий получаем несобственный интеграл.

Несобственным интегралом I рода (интегралом с бесконечным преде-

лом интегрирования) называют интеграл f (x)dx, где f (x) непрерывна

на a, .

О п р е д е л е н и е 1 . Несобственным интегралом I рода называют число, равное пределу

			N		С, интегралсходится;
			N
	f (x)dx	lim		f (x)dx	, интегралрасходится к ;
	f (x)dx	lim		f (x)dx	, интегралрасходится к ;
a		N a
					несуществует, интеграл расходится.

Если этот предел существует и равен числу С, то говорят, что несоб-

ственный интеграл сходится и равен С:

f (x)dx C .

Если предел не существует или равен ,

то говорят,

что интеграл

f (x)dx расходится.

Геометрический смысл. Пусть

f (x) 0

на a, .

Тогда

f (x)dx S(N),

значение интеграла

S(N)

равно площади криволинейной тра-

пеции.

Рис. 11

Тогда

f (x)dx

lim S(N), и

несобственный интеграл равен площади криволинейной трапеции с беско-

нечным основанием (рис. 11).

Примеры:

lim e

1. e

dx lim

N 0

lim e

lim

1 1.

y x

Интеграл сходится, равен 1 (рис. 12).

Площадь криволинейной трапеции

Рис. 12

ST = 1.

N dx

lim

ln x

N 1 x

lim

ln N ln1

lim ln N .

Интеграл расходится к бесконечности

(рис. 13).

Рис. 13

lim

( cosN cos0)

sin xdx

lim

sin xdx

cosx

lim

(1 cosN).

Предел не существует, т.е. интеграл расходится, его значение не определено.

О п р е д е л е н и е 2 . Несобственным интегралом f (x)dx назы-

вается предел

a		a
f (x)dx	lim		f (x)dx
f (x)dx	lim		f (x)dx	.
	N N

Сходимость или расходимость определяются так же, как в предыдущем определении.


О п р е д е л е н и е 3 . Несобственный интеграл f (x)dx разбива-

a
ется в сумму f (x)dx	f (x)dx, где a – произвольное число.
	a

Интеграл f (x)dx сходится, если сходятся оба указанных интеграла.

Если хотя бы один из них расходится, то f (x)dx расходится.

Основные свойства интегралов с бесконечными пределами

1.	f (x)dx и	f (x)dx сходятся или расходятся одновременно.
	a	b
Действительно,
		b	b
f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx С.
a	b	a

		собственный				c
		N	интеграл			c
		N	lim c N c a
2. cdx		lim cdx	lim c N c a		,	S
a		N a	N
значит, интеграл расходится (рис. 14).						a
						a
						Рис. 14
3. Если	f (x) 0, то		f (x)dx	либо сходится,		Рис. 14
3. Если	f (x) 0, то		f (x)dx	либо сходится,

либо расходится к бесконечности.

Действительно, Ф(N) f (x)dx является воз-

растающей функцией. При N возрастающая функция стремится к конечному пределу или к

Ф (N )

a N

Рис. 15

(рис. 15).

4. Признак сравнения неравенством.			Пусть	f (x) и (x)		– непре-
			Пусть	f (x) и (x)		– непре-
	y (x)	рывные на a, функции, при-
	y (x)	чем	выполняется		неравенство
		0 f (x) (x) на a, . Тогда

	y f (x)		а) если	(x)dx		сходится,
				a
a
a	Рис. 16	то f (x)dx тоже сходится;
	Рис. 16	a

б) если	f (x)dx расходится, то	(x)dx расходится (рис. 16).
	a	a	lim f (x) k ,
5. Признак сравнения отношением. Если			lim f (x) k ,		k 0; k ,
			x g(x)

то интегралы f (x)dx и	g(x)dx сходятся или расходятся одновременно.
a	a

Хотя в случае сходимости значения этих интегралов могут существенно различаться, даже в случае k 1; a b.

Чаще всего исследование сходимости несобственных интегралов на основании признаков сравнения неравенством или отношением проводят

сравнением с интегралом 1 xp . Выясним, при каких p он сходится.

Если p 1, то

lim ln

ln1 , т.е. интеграл

lim

расходится.

Если p 1, то интеграл сходится:

lim x pdx

lim

N 1

N (1 p)xp 1

N 1 p N p 1

p 1

N1 p 1 , инте-

Если p 1, то

lim x pdx

lim

грал расходится.

N 1

N 1 p

dx сходится при p 1;

Итак, получили, что

расходится при p 1.

Примеры:

												dx
1. Исследуем сходимость интеграла															. Используем для срав-


dx									0	3 x2 1
dx			p			2		1, то интеграл расходится.
нения интеграл		. Так как
нения интеграл	2	. Так как				3
0	x 3			1		3

												x	2			0
		3
		3	x	2	1
Заметим также, что lim			x		1		lim		3					1		, поэтому, исполь-
Заметим также, что lim				1			lim		3			2		1		, поэтому, исполь-
		x		1				x			x	2	1
		x	x	2	3			x			x		1
			x		3

зуя признаки 1 и 5, устанавливаем расходимость исследуемого интеграла.

Интеграл

сходится,

т.к.

сходится

интеграл

0 x 1

Кроме того, lim

lim 3

1 x 2

x3 1

что позволяет использовать свойства 1 и 5.

6. Если

f (x)

сходится,

то f (x)dx

также сходится. В этом слу-

чае

f (x)dx

называется абсолютно сходящимся, а функция

y f (x) аб-

солютно интегрируемой на a, .

Пример:

sin x

dx сходится абсолютно,

( p 2 1) сходит-

Интеграл

т.к.

sinx

ся и верно неравенство

(использовали признак сравнения нера-

венством).

Несобственные интегралы II рода (интегралы с бесконечными разрывами подынтегральных функций)

Рассмотрим функцию y f (x), определенную и непрерывную наa,b . Но в точке b, например, функция имеет разрыв.

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных