Материал: 1634

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

3.		2x 3								dx.					4.				3x 5								dx.
3.	(x	2							3	dx.					4.		(x	2	2x 2)						2		dx.
	(x	3x 2)															(x		2x 2)
5.				dx										.	6.					x3 1						dx.
5.	(x	1)(x			2		x			1)			2	.	6.		(x	2	4x 5)					2		dx.
	(x	1)(x					x			1)							(x		4x 5)
7.			dx									.			8.			dx				.
7.	(x	1)	2	(x			2	1)			2	.			8.		(x	4	1)		2	.
	(x	1)		(x				1)									(x		1)
		dx													4	2x			2
9.		dx				.								10.	x	2x				2			dx.
9.	(x	2		4		.								10.	2					2			dx.
	(x	1)													(x	2x 2)

Ответы:
		1					x				C.
1.		1				ln	x
1.						ln	x 1
	1 x						x 1
					8						27								30					x 5			C.
2.					8						27								30		ln			x 5
2.		49(x 5)						49(x 2)													ln			x 2
		49(x 5)						49(x 2)									343							x 2
3.					1								C.
3.			2(x2 3x 2)2										C.
4.					2x 1					arctg(x 1) C.
4.		2(x								arctg(x 1) C.
		2(x			2 2x 2)
5.	ln			x 1					x 2											5		arctg				2x				1			1		ln(x2 x 1) C.
									x 2											5						2x				1			1

							3(x		2 x 1) 3 3																			3			2
							3(x		2 x 1) 3 3																			3			2
6.					3x 17							1			ln(x2					4x 5)							15		arctg(x 2) C.
6.		2(x													ln(x2					4x 5)									arctg(x 2) C.
		2(x			2 4x 5)						2																	2
7.					x2 x									1		ln		x 1					1		ln(x2			1)				1		arctgx C.
					x2 x									1									1									1
		4(x 1)(x2 1)
											2											4									4
											2											4									4

3x 3 x 1

8.8arctgx 4(x4 1) 16ln x 1 C. 15x5 40x3 33x 15

9.2 1)3 48arctgx C.48(x

10. x	x 1	2ln(x2	2x 2) 3arctg(x 1) C.
	x2 2x 2

§7. Интегрирование тригонометрических функций

Рассмотрим несколько классов тригонометрических функций и методы их интегрирования.

I. Для интеграла f (sinx;cosx)dx можно применить пригодную во всех случаях универсальную тригонометрическую подставку (УТП)

t tg	x	. Отсюда	x 2arctgt;dx	2dt	. Теперь используем тригонометри-
				1 t2
2

																1 tg				2 x								1 t2																						2tg					x										2t
																1 tg						2						1 t2																						2tg					2										2t
ческие формулы cosx																																						;sinx																																	.
ческие формулы cosx																				2		x						1 t2										;sinx																	2				x				1 t2								.
																1 tg				2		x						1 t2																			1 tg								2				x				1 t2
																1 tg						2																									1 tg											2
																						2																									x											2			2dt
																																								t tg							x		; dx												2dt					;
																																								t tg									; dx																	;
Итак, УТП – это подстановка вида																																															2												1 t2
Итак, УТП – это подстановка вида																																																		2t																		1 t2
																																								sinx										2t					;				cosx									1 t2				.

																																																																				1 t2
Примеры:																																																1 t2																				1 t2
Примеры:																																	2dt
								dx																									2dt																											2dt
1.														УТП																	1 t2
																															1 t2
		3sinx 4cosx																			3					2dt								4								1 t					2							6t					4 4t									2
		3sinx 4cosx																																													2																					2


																								1 t2																	1 t2
1										dt							1								dt														t					3		k;												1						dk
																																												3

																																												4
				2	t		2				3	t 1					2						3 2										25											4														2				k	2					25
										2									t																				dt dk.																													16
																																							dt dk.

																							4										16
																							4										16
				1		1						ln	k			5	C								1		ln					t 2									C										1	ln					tg				x		2
				1		1							k			4									1							t 2																			1						tg			2			2						C.
																																																																					C.
				2 2					25				k		5										5					t						1																	5			tg					x				1
				2 2					25				k												5					t																							5			tg
								16								4																					2																							2				2
								16								4																					2																							2				2
2.										dx
2.			4sin x 3cosx 5
Применяем УТП, получаем																													2dt
								dx																					2dt																																						2dt
								dx																					1 t2																																						2dt
	4sin x 3cosx 5																	4				2t							3						1 t								2		5								8t					3(1 t										2		) 5(1 t			2	)
																						2t													1 t																		8t					3(1 t												) 5(1 t				)
																				1 t2
																				1 t2														1 t2

2dt	dt	1		C		1		C.

8t 2t2 8	(t 2)2		t 2			x
					tg		2
					tg	2	2
						2

II. Интегралы вида sinm x cosn xdx:

а) если m – нечетное положительное целое число, то применяют подстановку t cosx;dt sinxdx ;

б) если n – нечетное положительное целое число, то применяют подстановку t sinx;dt cosxdx ;

в) если m и n – четные положительные целые числа, то используют тригонометрические формулы

sinxcosx 1sin2x;

cos

(1 cos2x);

sin

(1 cos2x);

Примеры:

sin2 x cos2 x 1.

cosx t;

1. sin3 xdx

sin2 x sin xdx

(1 cos2 x) sin xdx

sinxdx dt.

cos

(1 t

)dt

C cosx

cosx t;

2. sin5 xdx

(sin

2 x)

sin xdx

(1 cos2 x)2 sin xdx

sinxdx dt.

(1 t2)2dt

(1 2t2 t4)dt (t 2

) C

cosx

cos

x C.

sinx t;

3. sin6 x cos3 xdx sin6 x (1 sin2 x) cosxdx

cosxdx dt.

t6(1 t2)dt

(t6 t8)dt

sin7 x

sin9 x

4. sin5 x cos5xdx

(sin x cosx)5dx

5 2xdx

sin2x)

sin

				1																							cos2x t;																			1					1
				1		(1 cos2 2x)2													sin2xdx								2sin2xdx dt;																			1					1		(1 t2)2dt
			32			(1 cos2 2x)2													sin2xdx								2sin2xdx dt;																			32							(1 t2)2dt
			32																																				1							32			2
																											sin2xdx												1		dt.
																											sin2xdx														dt.
																																							2
					1							2						4							1										t3			t5
							(1 2t					2		t				4	)dt																							C
					64		(1 2t							t					)dt						64		t 2									3		5				C
					64																				64											3		5
					1										2		cos3									1	cos5
							cos2x													2x													2x				C.
					64		cos2x								3					2x						5							2x				C.
					64										3											5
							2 xdx							1																1																			1							1
		5. cos														(1 cos2x)dx																	(			dx			cos2xdx)													x							sin2x	C.
		5. cos										2				(1 cos2x)dx														2			(			dx			cos2xdx)										2			x				2			sin2x	C.
		=										2																		2																			2							2
		=																					2
6. cos			4		xdx					1	(1 cos2x)												2		dx				1		(1 2cos2x cos																2	2x)dx

																													4
										2																			4
	1												1																			1								1							1							1
		1 2cos2x														(1 cos4x)										dx								x 2								sin2x								x							sin4x			C
	2	1 2cos2x											2			(1 cos4x)										dx								x 2						2		sin2x					2			x				4			sin4x			C
	2												2																			2								2							2							4
	1	3										1
				x sin2x										sin4x						C.
	2			x sin2x								8		sin4x						C.
	2	2										8
		7. sin6 xdx											(sin2 x)3dx															1														3		1		(1 3cos2
																														(1 cos2x)																												2x 3cos2x
																												2		(1 cos2x)														8														2x 3cos2x
																												2																8
														1								1																		3
		cos3					2x)dx									x 3								(1 cos4x)dx																		sin2x cos2 2x cos2xdx
		cos3					2x)dx							8		x 3						2		(1 cos4x)dx																2		sin2x cos2 2x cos2xdx
														8								2																		2
				1				3						sin4x									3		sin2x (1 sin2
					x					x																																2x)cos2xdx .
					x			2		x					4								2																			2x)cos2xdx .
				8				2							4								2
		Последний интеграл вычислим отдельно:
								2													sin2x t;																						2		dt					1					t			3
																																																										3
		(1 sin							2x) cos2xdx																													(1 t						)
		(1 sin							2x) cos2xdx												2cos2xdx dt.																	(1 t						)								t							C
																					2cos2xdx dt.																							2					2							3
																																												2					2							3

1sin2x 1sin3 2x C.

Теперь выпишем ответ исходного примера и сделаем его упрощения.

			4			1	5			3					3					1				1			3
cos				xdx				x				sin4x					sin2x					sin2x			sin				2x		C
cos				xdx				x		8		sin4x			2		sin2x			2		sin2x		6	sin				2x		C
						8	2			8					2					2				6
	1		5						3						1	sin3
					x 2sin2x						sin4x							2x		C.
	8		2		x 2sin2x				8		sin4x				6			2x		C.
	8		2						8						6		2
8. sin2 x cos2 xdx													1				2		1		sin2					1		1
														sin2x			dx						2xdx							(1 cos4x)dx
													2	sin2x			dx		4				2xdx			4		2		(1 cos4x)dx
													2						4							4		2
	1				1
		x				sin4x		C.
	8	x				sin4x		C.
	8				4

III. Интегралы вида tgmxdx и ctgmxdx,m Z .

При вычислении таких интегралов применяются формулы

tg2x	1		1;	ctg2x	1	1.
	cos2
		x			sin2 x

С помощью этих формул постепенно понижаем степени тангенса и котангенса.

Примеры:

1. tg

xdx tg

1 dx tg

xdx

cos

dx tg

1 dx tg

cos

tg3x

dx tg3xdx tg5x

cos

tg3x

dx tgx

dx tgxdx

tgx t;

;

cos2

cos2 x

cos2

cosx k;

t5dt t3dt tdt

sin xdx dk.

tg6x

tg4x

cosx

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных