Материал: 1634

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

2. ctg6xdx

ctg4x

1 dx

ctg4x

sin2 x

ctg

1 dx ctg

ctg

1 dx

sin2 x

sin

2 x

sin2x

sin2

ctg t;

t4dt t2dt

ctgx x C

dx.

sin2 x

sin

2 x

ctg5x

ctg3x

ctgx x C.

tg4x sec6 xdx

tg4x sec4

xsec2 xdx

tg4x(1 tg2x)

cos2 x

tgx t;

t4(1 t2)2dt t4(1 2t2 t4)dt (t4 2t6 t8)dt

dt.

cos2 x

2t7

tg5x

2tg

IV. Интегралы вида sinmxcosnxdx;

cosmxcosnxdx;

sinmxsinnxdx.

Используем тригонометрические формулы

sin cos

sin( ) sin( ) ;

cos cos

cos( ) cos( ) ;

sin sin

cos( ) cos( ) .

Примеры:

1. sin3x cos5xdx

sin(3x 5x) sin(3x 5x) dx

(sin8x sin2x)dx

cos8x

cos2x

2. cos7x cos11xdx

(cos(7x 11x) cos(7x 11x))dx

(cos18x

cos( 4x))dx

sin18x

sin4x

3. sin x sin2x sin3xdx			sin x	1	(cos( x) cos5x)dx
3. sin x sin2x sin3xdx			sin x		(cos( x) cos5x)dx
			2
			2
	1					1	1		1
		(sinx cosx sin x cos5x)dx						sin2x		(sin6x sin( 4x)) dx
	2	(sinx cosx sin x cos5x)dx				2		sin2x	2	(sin6x sin( 4x)) dx
	2					2	2		2

1	(sin2x sin6x sin4x)dx	1	cos2x		cos6x	cos4x	C.

4		4		2	6	4

Задачи для самостоятельного решения

3 5sin x 3cosx

1 sin x

4. sin3 3xdx.

sin x cosx

cos5 x

dx.

6. cos4 6xdx.

sin x

7. tg

8. ctg

dx.

5xdx.

9. sec3 x.

10. ctg2xcosecxdx.

11. cos3x cos2xdx.

12. cos

cos

dx.

§8. Интегрирование иррациональных функций

Основным методом интегрирования иррациональных функций является метод, основанный на рационализации подынтегральной функции путем специальным образом подобранной подстановки.

				ax b			ax b			ax b
I. Интеграл вида	f		S1		;	S2		;...;	Sn

		x;		cx d			cx d				dx, где
										cx d

a,b,c,d R; Si – рациональные числа; f – рациональная функция, вычисля-

ется с помощью подстановки	ax b	t	S	, здесь	S – наименьшее общее
	cx d

кратное чисел Si . При этом все корни, присутствующие в подынтегральной функции, выразятся через t рационально.

Примеры:

													2x 6 t6;
1.						dx							2dx 6t5dt;										3t5dt				3						t5dt			3		t3		dt
1.													2dx 6t5dt;														3									3				dt
3 2x 6 2x 6													dx 3t5dt;									3 t6 t6									t2 t3						t 1
													t 6
													t 6		2x 6.
мыизбавилисьотиррациональности,получили неправильную


рациональнуюдробь
	(t		3	1) 1																	1									3			t	2
	(t			1) 1										2		t 1					1								t				t		t ln		t	1

3				t 1					dt 3 (t												t 1		)dt 3										2						C
3									dt 3 (t														)dt 3																C
																											3
											3
			2x 6								3	2x 6			6								6
			2x 6									2x 6					2x 6 ln							2x 6 1									C.

3				3								2
				3								2
				6							x t6;								t							t6
2.I				6	x			dx		dx 6t5dt;									t			6t5dt 6				t6						dt.
					3															2						2
		1			3		x											1 t		2					t	2
																												1
											t 6 x.																	1
											t 6 x.

Выделяем целую часть

Отсюда получаем

I 6 t4 t2 1 t21 1 dt 6 t55 t33 t arctgt C

66x5 2x 66x 6arctg6x C. 5

1 2x t4;

2dx 4t3dt;

2t3dt

t2dt

(t2 1) 1

dx 2t3dt;

t2 t

t 1

1 2x

t 4

1 2x.

2 t 1

t 1

t ln

2ln

1 2x

2x 1

3x 1

dx.

(3x 1)3 (3x 1)2

6 (2x 1)2(3x 1)

2x 1

Преобразуем интеграл, разделив числитель и знаменатель подынтегральной функции на 63x 1. После несложных преобразований получим интеграл вида

2x 1

3x 1

dx.

2x 1

(3x 1)

3x 1

2x 1

Делаем подстановку

2x 1

t , отсюда

;

3x 1

2x 1 t6(3x 1);

x(2 3t6) 1 t6;

1 t6

;

2 3t6

(1 t6)'(2 3t6) (1 t6)(2 3t6)'

(2 3t

6)2

6t5(2 3t6) (1 t6)( 18t

30t5dt

;

(2 3t

6)2

(2 3t6)2

3x 1

2 3t6

Тогда

I				t 1							30t	5			dt			6				t4 t				3		dt
I			25												dt													dt
			25			(t2 t3) (2 3t6)2												5				t 1
			(2 3t6)2			(t2 t3) (2 3t6)2												5				t 1
			(2 3t6)2
6							2					6		t4						t3							t2
6							2					6		t4						t3							t2
		t3 2t2			2t		2				dt						2							2					2t 2ln			t 1		C
		t3 2t2			2t		2				dt						2							2					2t 2ln			t 1		C
	5								t 1			5				4					3					2


3			2x 1		2		4			6									12											12
3			2x 1		2		4	2x 1		6			2x 1						12						2x 1					12			2x 1
		3										3											6								ln 6				1	C.
		3										3											6								ln 6				1	C.
5			3x 1				5 3x 1 5						3x 1							5 3x 1										5			3x 1
5			3x 1				5 3x 1 5						3x 1							5 3x 1										5			3x 1

II. Иррациональные функции, содержащие корни вида C x2 , можно проинтегрировать, применив тригонометрические подстановки:

а) для интеграла f (x;a2 x2 )dx следует использовать подстановку

x asint;	и тригонометрическую формулу a	2 a	2 sin	2 t a2 cos2 t ;
dx acostdt.	и тригонометрическую формулу a	2 a	2 sin	2 t a2 cos2 t ;
dx acostdt.

б)

для

интеграла

f (x;

a2 x2 )dx

используется

подстановка

x atgt;

dt.

;

cos2 t

в) интеграл

f (x;

x2 a2

)dx

вычисляется с помощью подстановки

;

a2 sin

2 t

cost

;

asint

dt.

cos2 t

Примеры:

2costdt 2

cos2 t

4 x2

x 2sint;

4 4sin2 t

dx 2costdt.

2sint

sint

cos

sintdt 2

cos

sintdt

cost k;

1 cos2 t

dk sintdt.

sin2 t

1 k2

(k2 1) 1

k 1

dk 2 1

dk 2 k

k2 1

k 1

cost 1

2cost ln

cost 1

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных