Материал: 1402

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

	dx
			.
	3
4 xln		x

Вариант 23

1. Вычислить следующие интегралы методом замены переменных:

			π
1		2		1	xdx
а) ex	15 ex dx;	б) sin2xcos3xdx;		в)	xdx	.
а) ex	15 ex dx;	б) sin2xcos3xdx;		в)	2	.
0		0		0	1 x
0		0		0

2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

2 dx1 xln x .

Вариант 24

1. Вычислить следующие интегралы методом замены переменных:

				π
e			4		1
	lnxdx
а)		;	б) cos2 xsin2 xdx;		в) x	x2 1	dx.

1	x		0		0

2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

	x4	dx.

1 x5
1 x5

Вариант 25

1. Вычислить следующие интегралы методом замены переменных:

xdx

ln3

а)

;

б) sin3 xdx;

в)

1 x4

0 1 ex

2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

01 x3 dx.

§3. Вычисление площадей плоских фигур

В этом параграфе при помощи интегрального исчисления будет решен ряд задач.

Вычисление площади в прямоугольных координатах

Площадь S фигуры, ограниченной графиками функций y f x (сверху), y g x (снизу) и прямыми x a; x b, подсчитывается по формуле

Действительно,

Рис. 4

Рис. 5

	b
S	f x g x dx.	(2.17)

в силу геометрического смысла определенного интеграла [см. равенство(2.3)] имеем

(рис. 4)

f x dx S aA1B1b и g x dx S cBb S aAc ,

a		a
поэтому
b	b	b

f x g x dx f x dx g x dx

S aA1B1b S cBb S aAc S , как это вид-

но из рисунка.

Пример 1. Вычислить площадь между параболами y 4x x2 и y x2 6

(рис. 5).

Решение. Сначала найдем точки пересечения парабол, для чего решим систему уравнений

y 4x x2 ;

y x2 6,

т.е. найдем точки на плоскости, коорди-

наты которых удовлетворяют одновременно уравнениям обеих парабол. Из этой системы

	x2 6 4x x2; 2x2 4x 6 0; x2 2x 3 0 и
	x			2		22 4 3			2 4	или x 1;x			2	3.
	x									или x 1;x				3.
	1,2				2			2				1
	Тогда по				2		(2.17)	2				площадь				будет			равна:
	Тогда по	формуле					(2.17)	искомая				площадь		S		будет			равна:
	3						3								2			3
	3						3											3
S 4x x2 x2 6 dx 6 4x 2x2 dx													2				x3
												6x 2x
												6x 2x			3
	1						1											1
	1						1											1
		2									2						10
	6 3 2 32		33		6		1 2 1 2					1 3 18
	6 3 2 32	3	33		6		1 2 1 2				3	1 3 18					3
		3									3						3

18 10 64. 3

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

y x2; y	1	; y 0; x 2, x 0.
	x2

Решение. Сначала найдем точки пересечения кривых y x2 и

y 1 , для чего решим систему уравне- x2

ний

y x2;

1y x2 .

Из этой системы x2	1	;	x4 1 или
	x2
x1 1; x2 1.			Рис. 6

Таким образом, заданная фигура (рис. 6) является криволинейной трапецией, ограниченной сверху графиком функции

				y x2			, 0 x 1;
		f x
		f x				1
				y		1		, 1 x 2.
				y		x2		, 1 x 2.
По формуле (2.17)						x2
По формуле (2.17)									1			1		2
2	1	2	dx		x2 1					2	x3		x 2 1
2	1	2								2
S f x dx x2dx										x 2dx
S f x dx x2dx			2		2 1					x 2dx	3		2 1
0	0	1	x		2 1				0	1	3	0	2 1	1
0	0	1							0	1		0		1

1			1	2	1	1	1	1	1	5

		0								1	.
			x
	3			1	3	2	1	3	2	6

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

y sin x;y 2 sin x; x 5 ; x 0.

Решение. Искомая площадь S равна

сумме площадей S1		и S2	двух фигур, пер-
вая из	которых	ограничена		линиями
y sin x;	y 2sin x;	x 0;	x ,	вторая ог-
раничена линиями y sinx;			y 2sin x; x ;

x 5 (рис. 7).

Для вычисления площадей S1 и S2 применим формулу (2.17):

y sin2x

Рис. 7


S1 2sinx sinx dx sin xdx cosx		0π cosπ cos 0


0	0

1 1 1 1 2.


	5				5		5
4				4			5
4				4					4
S2 sinx 2sinx dx sin xdx cosx									4
S2 sinx 2sinx dx sin xdx cosx


				2
Тогда S S		S	2			2		2,293.
Тогда S S		S						2,293.
1				2
				2

cos5 cos 2 1. 4 2

Вычисление площади, ограниченной кривой, заданной параметрическими уравнениями

Если кривая задана уравнениями в параметрической форме x t ; y t , то площадь криволинейной трапеции, ограничен-

ной двумя вертикалями х = а и у = b и отрезком оси Ох, выражается интегралом

	t2	t dt ,
S			(2.18)
	ψ t
	t1		и b 2 t
где t1 и t2 определяются из уравнений a 1 t
( t 0на отрезке t1,t2 ).

Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченную первой аркой

циклоиды x a t sint ; y a 1 cost и отрезком оси абсцисс (рис.

8).

Решение. Точкам 0 и А соответствуют значения параметра t0 = 0 и

tА=2π, поэтому по формуле (2.18) ис-

комая площадь

2π

1 cost

a t sint dt

2π

2πa

a2 1 cost 2 dt

πa

2π

1 cos2t

Рис. 8

1 2cost

2π

dt 2

cost dt

cos2td

t 2sint

sin2t

2 3

2π 2sin2π

sin 4π

0 2sin0

sin0

3πa

Вычисление площади в полярных координатах

Если кривая задана уравнением в полярных координатах, то площадь сектора 0АВ (рис. 9), ограниченного дугой кривой и двумя полярными радиусами 0А и 0В, соответствующими значениями 1

и 2 , выразится интегралом
	S 1	2d .	(2.19)
	2

			y
	ρ = ρ(φ)		π/4
S	A		π/4
			x
0			0

Рис. 9

Рис. 10

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия