Материал: 1402

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Вычисление длины дуги кривой, заданной в прямоугольной сис-
теме координат......................................................................................	65
Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрическими
уравнениями…………………………………………………………..	67
Вычисление длины дуги кривой, заданной в полярных координа-
тах...........................................................................................................	68
§ 5. Вычисление объема.........................................................................….	71
Вычисление объема тела по известным площадям его попереч-
ных сечений…………………………………………………...............	71
Вычисление объема тела вращения....................................................	72
Задачи для индивидуальных заданий..................................................	75
Библиографический список………………………………………….	88

Глава 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§ 1. Непосредственное интегрирование

Многие физические и геометрические задачи сводятся к нахождению производных от функций. Наряду с этим ряд задач сводится к обратной операции – отысканию функции по ее производной. Эта операция называется интегрированием, следовательно, интегрирование должно заключаться в следующем: задана производная – требует-

ся найти функцию.
Определение. Функцию y F x ,	заданную на промежутке x,
называют первообразной для функции	y f x , заданной на том же
промежутке, если для всех x X выполняется равенство		F x f x

(или, что то же самое, равенство dF x f x dx). Например, для функ-

ции f x cosx первообразной будет		функция F x sin x, т. к.
	x для всех x;	для функции 3x2 первооб-
F x sinx cosx f
разной будет функция x3		для всех x; для скорости V
	, т.к. x3 3x2
точки первообразной будет путь S , который прошла эта точка, т. к.

St V , и так далее.

Так как первообразная имеет производную, следовательно, она непрерывна. Но верно и более глубокое утверждение: если функция f x непрерывна, то она имеет первообразную. В интегральном исчислении мы будем иметь дело только с непрерывными функциями.

Если	функция y F x	является первообразной для функции
y f x	на промежутке X ,	то и любая из функций вида y F x C

является первообразной для y f x на том же промежутке. Это сле-

дует из того, что

F x C F x C f x 0 f x .

Нетрудно убедиться в верности и обратного утверждения: если F x есть первообразная f x , то все первообразные для f x содержатся в формуле F x C.

Определение. Совокупность всех первообразных для заданной функции f x на промежутке x называется неопределенным инте-

гралом этой функции и обозначается так: f x dx (читается: ”инте-

грал эф от икс дэ икс”);

f x называется подынтегральной функцией;

произведение f x dx– подынтегральным выражением;

знаком интеграла;

x– переменной интегрирования.

Если F x есть первообразная для f x , то f x dx F x C (C–

произвольная константа). Например, cosxdx sin x C;

3x2 dx x3 C.

Из определения интеграла следует, что каждой формуле дифференциального исчисления F x f x соответствует формула

f x dx F x dx С в интегральном исчислении, так что в частности

вся таблица производных может быть переписана в виде таблицы интегралов:

I. xndx

xn 1

C, где n 1;

II.

n 1

III. axdx

IV. ex dx ex C;

ln a

arcsin x C

VI.

;

arcsin

1 x2

arccos x C

a2 x2

VII.

x a

x2 a

; VIII.

2 a

x a

x2 a

IX. cosxdx sinx C;

X. sinxdx cosx C;

XI.

ctg x C;

XII.

tg x C;

sin2 x

cos2 x

arctg x C

XIII.

;

XIV.

arctg

1 x2

a2 x2

arcctg x C

)dx

XV. (

x2 a

XVI. f ax b dx 1 F ax b . a

Займемся теперь основными свойствами неопределенных интегралов и правилами их вычисления.

Примем без доказательства свойства неопределенного интеграла:

1.f x dx f x ;

2.f x dx f x C;

3.d f x dx f x dx;

4.df x dx f x C ;

5.kf (x) dx k f (x) dx (k–постоянная);

6. f (x) g(x) dx f (x) dx g(x) dx .

§ 2.Интегрирование подстановкой

Замена переменной (подстановка) x t в интеграл производится по формуле

f x dx f t t dt ;	(1.1)

при этом говорят, что в интеграле слева сделана замена переменной (подстановка) x t . Формулой (1.1) можно пользоваться следующим образом: подобрать функцию x u t так, чтобы, подставив вместо x подынтегральное выражение, получить более простой интеграл.

Пример 1. Найти xx 3 dx.

Решение. С целью упрощения подынтегрального выражения по-

ложим

x 3 t2 .

Отсюда

x t2 3;

dx d t2 3 ;

dx d t

dx 2t 0 dt;

dt;dx (t

dt;

dx 2tdt .

Заменив

)

всюду под интегралом x на (t) t2 3, получим

dx t2 3

2tdt 2t4 6t2 dt 2 t4dt 6 t2dt

x 3

2 t4dt 6 t2dt 2

t4 1

t2 1

t5 2t3 C

x 3

2 1

3 C.

4 1

x 3

При вычислении воспользовались формулой xndx

xn 1

n 1

2xdx

Пример 2. Найти

e4x

Решение. Заметим,

что e4x e2x 2

. Целесообразно ввести пере-

менную e2x t . Тогда	de2x dt ;		e2x 2dx dt. Заменив
		e2x dx dt;

всюду под интегралом e2xdх на

e2xна t, получим

3dt

t t

2 t2 5

t2 5 2

Пример 3. Найти

2sin xdx

3 cos2 x

Решение. Заметим, что sin xdx d cosx, т.к.

ввести

d cosx cosx

dx sin xdx. Целесообразно

t cosx. Заменив всюду под интегралом sin xdx

на dt

получим

5 C.

переменную

, cosx на t,

2sinxdx

2ln

3 t2

C 2ln

cosx

3 cos2 x

3 t2

Пример 4. Найти sin 3x 1 dx.

Решение. Заметим,

что

d 3x 1 , т.к.

d 3x 1

Целесообразно ввести переменную t 3x 1. То-

3x 1 dx 3dx.

гда dx

dt. Заменив всюду под интегралом dx на

dt,

3x 1 на t;

получим

sin 3x 1 dx

cos 3x 1 C.

sintdt

cost

На основании вышеизложенного можно ввести формулу

f ax b dx

F ax b C ,

(1.2)

где F x – первообразная функции f x .

Тогда e2x 3dx

e2x 3

Из формулы (1.2) получим

1. sin ax b dx 1 cos ax b C. a

2. cos ax b dx 1sin ax b C. a

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия