Документ: 1402, страницы 16-20 | Студенческое хранилище

Материал: 1402

Смотрите также:

Случай, когда знаменатель разлагается лишь на неповторяющиеся множители первой степени

Пример 1. Найти 5x3 9х2 22х 8dx. x3 4x

Решение. Подынтегральная рациональная дробь неправильная, так как степень числителя равна степени знаменателя. Поэтому выде-

ляем целую часть

5x2 + 9x2 – 22х – 8| х3 – 4х ¯5х3 – – 20х___| 5

9x2 – 2x – 8

Таким образом,

5x3 9х2 22х 8					9х2 2х 8
				5
x	3	4x	dx	5	x	3	4x	dx.
x		4x			x		4x

Знаменатель правильной остаточной дроби разлагается на мно-

жители следующим образом:

x3 – 4x = x(x2 – 4) = x(x – 2)(x + 2).

По формуле (1.5) каждому множителю знаменателя вида (х – а) в разложении правильной дроби на простейшие соответствует слагае-

мое вида А . Поэтому в данном случае получится разложение

х а
	9х2 2х 8		А	В	С	.
	x3	4x			х 2
			х х 2

Приводя правую часть к общему знаменателю и приравнивая

числители, получим тождество

9x2 – 2x – 8 = A(x – 2)(x + 2)+Bx(x + 2) + Cx(x – 2)= =Ах2 –4А+Вх2+2Вх+Сх2 –2Сх.

Коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях тождества должны быть равны. Поэтому, отмечая за чертой слева, при каких степенях х сравниваются коэффициенты, получим систему уравнений

x2	9	A B C;
x1	2	2B 2C;
x0	8	4A.

Из третьего уравнения системы находим А = 2. Подставляя значение А в первое уравнение и сокращая второе на 2, будем иметь

18

В С 7;

В С 1,

откуда В = 3; C = 4.

Прием, которым найдены неизвестные А, В, С, называется спосо-

бом сравнения коэффициентов.

Заменяя под знаком интеграла остаточную дробь ее разложением на простейшие дроби (с подставленными в него найденными значениями коэффициентов) и находя нужные интегралы, последовательно получим

5x3 9x2 22x 8

2

3

4

dx

5

x

dx 5

dx 2

3

x

3

х 2

4x

x x 2

x

x 2

4

dx

5 dx 2

dx

3

d(x 2)

4

d(x 2)

5x 2ln

x

3ln

x 2

x

x 2

4ln x 2 C.

Случай, когда знаменатель разлагается лишь на множители первой степени, среди которых есть повторяющиеся

Пример 2. Найти	3x 2	dx.
	3
	x( x 1)

Решение. Подынтегральная дробь правильная. Ее знаменатель уже представлен в виде (1.4). Согласно формуле (1.5), множителю х знаменателя в разложении подынтегральной функции будет соответ-

ствовать простейшая дробь А, а множителю (х + 1)3 будет соответст-

х

вовать сумма трех простейших дробей

B	C	D	;
	x 1 2	x 1 3
x 1

поэтому разложение подынтегральной функции на простейшие дроби будет иметь вид

3x 2	A	B	C	D	.
x( x 1)2			x 1 2	x 1 3
	x x 1

Приведя правую часть к общему знаменателю и приравнивая

числители, получим

3x + 2 = A(х + l)3 + Bx(x + l)2 + Cx(x + l) + Dx=Ах3 + 3Ах2 + 3 Ах + А + Вх3 + 2В х2 + Bx + Сх2 + Сх + Dx.

Коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях тождества должны быть равны. Поэтому, отмечая за чертой слева, при ка-

19

ких степенях х сравниваются коэффициенты, получим систему уравнений

x0

2

А;

x1

3 3А В С D, D 1;

x2

0 3А 2В С,C 2;

x3

0

А В, B 2.

Поэтому

3x 2

dx 2

dx

2

dx

2

dx

2

dx

2

dx

3

2

3

x( x 1)

x

x 1

x

x 1

2 x 1 2 dx x 1 3 dx 2ln

x

2ln

x 1

2 x 1 2 1

x 1 3 1

2 1

3 1

21

2ln x 2ln x 1 х 1 2 х 1 2 С.

При вычислении воспользовались заменой переменных x 1 t;

d x 1 dt; x 1 dx dt; 1 dx dt.

Случай, когда знаменатель разлагается лишь на неповторяющиеся множители второй степени и, возможно, множители первой степени

Решение. Подынтегральная дробь правильная. Ее знаменатель уже представлен в виде (1.4). Согласно формуле (1.5), множителю

x2 1 знаменателя в разложении подынтегральной функции будет

соответствовать простейшая		дробь		Mx N		.	Разложение подынте-

				x2 1
гральной функции на простейшие дроби запишется
	x2 2х 2		A		В			Mx N
								х2 1	.
	x 1 2( x2 1)		х 1		х 1 2

Приводя правую часть к общему знаменателю и приравнивая числители, получим

x2 2х 2 A x 1 x2 1 B x2 1 Mx N x 1 2 Ax3Ax Ax2 A Bx2 B Mx3 2Mx2 Mx Nx2 2Nx N.

20

Коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях тождества должны быть равны. Поэтому, отмечая за чертой слева, при каких степенях х сравниваются коэффициенты, получим систему уравнений

x0

2 А B N;

x1

2 А M 2N;

x2

0 А В 2M N;

x3

0 А M,

решив которую, получим А =-1; В = 0; M 1;

N 1.

Поэтому

x2 2х 2

dx

x 1

1

d x 1

dx

x 1

2

(x

2

1)

х

2

1

x 1

х 1

xdx

1

d

x

2 1

1

dx ln x 1

dx

2

x

2

1

x

2

x 1

1

2

x

1

ln x 1 12 ln x2 1 arctgx C.

§6. Интегрирование функций, рационально зависящих от тригонометрических функций

Рациональной функцией R(u,v) двух переменных u и v называется функция, представляющая частное двух многочленов относительно этих переменных.

В этом параграфе рассматриваются способы интегрирования рациональных функций синуса и косинуса, т. е. интегралы вида

R sinx,cosx dx.

Подстановка tg x t,

2

которую будем называть универсальной, рационализирует рассматриваемый интеграл, т. е. сводит его к интегралу рациональной дроби нового аргумента t; при такой подстановке

2t

1

t2

2

sin x

;

cos x

;

x 2arctgx;

dx 2 arctg t

dt

dt.

1 t2

1

t2

1 t2

Следует, однако, учитывать, что иногда универсальная подста-

21

новка приводит к интегралу рациональной дроби, корни знаменателя которой практически невозможно найти. Это может случиться даже, если другая достаточно очевидная подстановка приводит к быстрому нахождению интеграла.

Пример 1. Найти sindxx.

Решение.

Подынтегральная функция

1

рационально зависит

sin x

от sin x.

Применяем универсальную подстановку

tg

x

t,

тогда

2

2t

2

sin x

;

dx

dt;

1 t2

2

1 t2

dx

dt

1 t

2

2dt

dt

x

2

1 2tt

ln

t

C

ln

tg

C.

sinx

2t

1 t2

t

2

1 t2

dx

Пример 2. Найти

.

8 4sinx 7соs x

Решение.

Применяем универсальную подстановку tg

x

t,

полу-

чим

2

dx

1

2dt

2t

1 t

2

8 8t

2

8t 7 7t

2

8 4sin x 7cosx

8 4

7

1 t

2dt

1 t2

.

t

2

8t 15

1

Сделаем

замену

переменных z

t2 8t 15

2t 8 t 4;

2

t z 4; dt d z 4 ;

dt z

dz

; dt dz.

4

Заменив всюду под интегралом t

на z 4 ,

dt на dz, получим

2

dt

2

dz

2

dz

2

dt

t

2

z

4

2

z

2

z

2

8t 15

8 z 4 15

8z 16 8z 32 15

1

22

Пример 3. Найти