Материал: 1402

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

z 1

t 4 1

z 1

t 4 1

§ 7. Некоторые интегралы тригонометрических функций

Интегрирование произведений синусов и косинусов

Интегралы вида sinaxcosbxdx, sinaxsinbxdx, sinaxcosbxdx

вычисляются с использованием формул тригонометрии

sinax cosbx 1 sin a b x sin a b x ; 2

sinax sinbx 1 cos a b x cos a b x ; 2

cos ax cos bx 1 cos a b x cos a b x , 2

которые позволяют представлять произведения синусов и косинусов в виде линейных комбинаций тех же функций (с другими аргументами) и могут быть использованы для интегрирования в рассматриваемом случае.

Пример 1. Найти sin7xcosxdx.

Решение.

sin7xcosxdx					1	sin 7 1 x sin 7 1 x dx						1	sin8xdx					1	sin6xdx
sin7xcosxdx						sin 7 1 x sin 7 1 x dx							sin8xdx						sin6xdx
		2							2							2
1		1				1			1							1			1
		sintdt		cosudu				cost			cosu C						cos8x				cos6x C.
	16	sintdt	12	cosudu			16	cost		12	cosu C					16	cos8x			12	cos6x C.
		При вычислении воспользовались заменой переменных
															dt
8x t; d 8x dt ;						8x dx dt;			8dx dt; dx							и 6x u; d6x du;
8x t; d 8x dt ;						8x dx dt;			8dx dt; dx					8		и 6x u; d6x du;
														8

6dx du; dx du .

Вычисление интеграла sinm x cosnx dx, где m

или n – положительное нечетное целое число

Если показатель степени одной из тригонометрических функций

– положительное нечетное целое число, то, принимая другую функцию за t, сведем рассматриваемый интеграл к табличным.

Пример 2. Найти sin xdx. cos2 x

Решение. Здесь показатель степени синуса равен единице, поэто-

му делаем подстановку cosx t, тогда d cosx dt; cosx dx dt;

-sin xdx dt ;

sin xdx dt. Заменив всюду под интегралом cosx на t,

получим

t 2 1

t 1

sin xdx

t 2 dt

2 1

cos

cosx

Пример 3. Найти cos5 x dx.

Решение. Заметим, что cos5 x cos2 x 2 cosx. Целесообразно вве-

сти переменную

t sin x, т.к.

cos2 x 1 sin2

x 1 t2. Тогда

dt dsin x;

dt sinx dx; dt cosxdx. Заменив всюду под интегра-

лом cos2 xна 1 t

cosxdx на dt, получим

cos5 xdx cos2

x 2 cosxdx 1 t2 2 dt 1 2t2 t4 dt dt 2 t2 dt

t4 dt dt 2 t2 dt t4 dt t

2t3

C sinx

2sin3 x

sin5 x

При

вычислении

воспользовались

формулой

a b 2 a2 2ab b2.

Вычисление интеграла sinm x cosnx dx, где сумма m и n есть отрицательное четное целое число

Если сумма показателей синуса и косинуса есть отрицательное четное число, подстановка tg x = t сводит интеграл к табличным.

Пример 4. Найти cos7 x sin x .

Решение. m + n =(7+ 1)/2 = – 4 есть отрицательное четное число,

поэтому применяем подстановку tg x= t; dt tgx dx

dx.

cos2

cos7 x sin x

cos8 x tg x

cos4

sin x

x tg x

cos

cosx

						dx									dx												1 tg 2 x					dx
	cos2		x cos2 x										cos2 x		1																cos2 x
										tg x																		tg x
																					tg x
														1 tg 2		x					tg x
														1 tg 2		x
	t2	1dt					t2dt											3		1					1	1						2		1
											dt						t			1		t				1
													3		1			2					2							2
													3		1			2					2							2
													t2 dt	t	2 dt													C			t	5 2t2
																	3							1						5
			t					t				t
			t					t				t							1								1
		2															2		1				2				1
																	2						2

					5
C				tg	5	x 2			tg x C.
C		5		tg		x 2			tg x C.																				1
		5
	При вычислении воспользовались формулой cos 2x																																.
	При вычислении воспользовались формулой cos 2x																																.
																												1 tg 2x

Вычисление интеграла sinm xcosn xdx m и n – четные неот-

рицательные числа

Применение формул тригонометрии

cos2 x 1 cos2x; sin2 x 1 cos2x 2 2

позволяет повторным уменьшением вдвое показателей степеней синуса и косинуса в конечном счете свести рассматриваемые интегралы к сумме интегралов от констант и нечетных степеней синуса и косинуса.

Пример 5. Найти cos4 xdx.

Решение. Заметим, что cos4 x																						1 cos2x 2
																																	.
																												2					.
Следовательно,																												2
Следовательно,																			1 2cos2x cos2																		2x dx
cos4 xdx						1		1 cos2x 2 dx									1																							1	dx
cos4 xdx								1 cos2x 2 dx																																	dx
				4												4																							4
	1	cos2xdx							*)	1		cos		2	2xdx						1			x				1		costdt						1 1 cos4x						dx	1		x

	2									4											4							4								4			2				4
	2									4											4							4								4			2				4
	1	sint	1	dx							1	cos4xdx				**)							1		x				1		sin2x				1		x	1	cosudu					1		x
	4	sint	8	dx						8		cos4xdx										4			x				4		sin2x				8		x	32	cosudu					4		x
	4		8							8												4							4						8			32						4
	1	sin2x			1		x				1		sinu C					1		x						1	x					1		sin4x C.
	4	sin2x					x			32			sinu C							x							x					32		sin4x C.
	4			8						32						4									8							32

*) Делаем подстановку t 2x; dt 2dx; dx dt. 2

**) Делаем подстановку u 4x; du 4dx; dx du.

§ 8. Интегрирование некоторых алгебраических иррациональностей

Интегралы вида R x,nx dx(n – натуральное число)

Символ R(x, nx ) означает рациональную функцию от х и nx . Интегралы вида R(x, xr, хs, ...)dx, где r, s, ... – рациональные числа,

относятся к рассматриваемому типу так, как если n – общий знаменатель дробей r s, ..., то подынтегральная функция оказывается рацио-

нальной функцией от х и хn .

3x 3

3x 12

Так, функция

x3 12

есть R(x, n x ).

x3 3

Подстановка x = tn (n – общее наименьшее кратное показателей всех радикалов, под которыми х входит в подынтегральную функцию) рационализирует рассматриваемый интеграл, т. е. сводит его к интегралу рациональной дроби.

Пример 1. Найти		х	dx.
	x

		3 х2

Решение. х входит в подынтегральную функцию под радикалами с показателями 2 и 3. Общее наименьшее кратное показателей 6, поэтому делаем подстановку

х t6; dx t6 dt; dx 6t5dt; t 6 x.

Тогда

6t5dt 6

t3t5

t8dt

t4dt

t4 t2 1 6

x 3

t6 3

t6 t4

t2 1

х2

t6 2

1 1

t2 1 t2 1 1

1 t2 1

dt 6

6 t2 1 dt 6

6 t2 dt 6 dt 6

t 1

t2 1

t 1

1 t

2 1

t 1

3ln

C 2t3

3ln

C 2 6 x

x 3ln

t 1

			6
				x 1
2	x 66	x 3ln		x 1		C.

			6		1
			6	x	1

Интегралы вида	ax b	dx

	px2 qx d
	px2 qx d

Интегралы этого вида вычисляют, используя замену переменных:

	1				q		2t q
t	1	px2	qx d	px	q	, откуда x	2t q	; dx	2	dt .
2				2			p		p

Пример 2. Найти .

2 3x 2x2

Решение. Сделаем замену переменных

1																			1												3														3 t													3				t
t		2 3x 2x2																				3 4x													2x ; x																	; dx			d								;
t		2 3x 2x2																	2			3 4x													2x ; x																	; dx			d				4		2		;
2																			2												2													4 2															4		2
	3						t													1
	3						t													1
dx											dt;				dx									dt.
dx				4			2				dt;				dx				2					dt.
				4			2												2
																																												3						t									dt
	Заменив всюду под интегралом x на																																													, dx на										, получим
	Заменив всюду под интегралом x на																																					4					2			, dx на							2			, получим
																																						4															2
				dx																						1				dt												1	2																	dt
																														dt
																									2

																																						2				2
										2																																																								2
																				3							t					3				t
2				3x			2x													3							t					3				t																9 3t							9					3 t	t
2				3x			2x										2 3												2


																																																2												2
																																																2							2					2
																				4							2				4					2																4 2											4 2 4
																				4							2				4					2																4 2					16						4 2 4
	1															dt																	1						dt												1					dt
																																	2
2						2			9					3t				9				3t						t2					2					25			t2											2				25		t2
									9					3t				9				3t						t2										25			t2													4
																																						8
								4				2					8				2				2													8				2
	1												dt												1										t									1											2t
																													arcsin								C												arcsin								C
																																		5																						5
			2					5					2													2								5													2									5
															t2																			2
										2					t2																			2
										2
															3		2x
	1												2																		1									3 4x
													2		2
					arcsin										2								C											arcsin														C.
					arcsin												5						C											arcsin														C.
		2															5															2										5

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия