Материал: 1402

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Пример 5. Найти площадь, заключенную внутри лемнискаты Бернули ρ2 a2 cos 2 (рис. 10).

Решение. В силу симметрии достаточно вычислить одну четверть искомой площади, а затем учетверить результат. По формуле (2.19) имеем

	y													a	2
			1				1		4						2		1		4
			1	S			1	a2 cos2 d									1	a2 cos2 d 2
		4		S				a2 cos2 d										a2 cos2 d 2
		4		2				0				2				2		0
		х			a2							a2								a2
0					a2						4	a2								a2
						sin2							sin			2					sin0
				4		sin2						4	sin			2		4		4	sin0
				4						0		4						4		4
					a2					0
					a2
						,
						,
Рис. 11				4
		отсюда S = a2.

Пример 6. Найти площадь одного лепестка кривой ρ = 4sin2φ (рис. 11).

Решение. Заметим, что если полярный угол φ изменяется от φ = 0 до φ = π, то точка на кривой обходит против часовой стрелки один лепесток; поэтому по формуле (2.19) для искомой площади имеем

		1						sin2			2			1 cos 2 2
S				16sin4 d 8							d 8												d
S		2		16sin4 d 8							d 8							2					d
		2																2
			0				0							0

2 (1 2cos					2 cos2 2 )d 2 d 2 cos 2 d 2
0											0		0
		1 cos 4															1			1		cos 4 d 4
		1 cos 4															1			1
2						d 2			0	2sin2		0	2					d
2				2		d 2				2sin2			2				2	d		4


	0													1		0					0
2 2 0 2sin2 2sin 2 0																sin4

													0						0
															4
															4

2 1 sin4 sin0 3 .

§ 4. Вычисление длины дуги кривой

Перейдем теперь к следующей задаче – определению длины линии. В школьном курсе давалось определение длины окружности как предела периметров правильных вписанных многоугольников при неограниченном удвоении числа их сторон.

Теперь мы обобщим это понятие на любые линии. Для этого выделим из приведенного выше определения самое существенное: в линию (окружность) вписывается ломаная, берется длина этой ломаной, а затем увеличивается число звеньев ломаной так, что длины всех звеньев стремятся к нулю (удваиваются числа сторон). Из этого и будем исходить.

Определение. Длиной l линии называется предел

limдлина АА1А2 Аn 1B l,	(2.20)
0

где AA1A2 An 1B– вписанная в L ломаная, а – длина наибольшего из звеньев этой ломаной (рис. 12).

Вычисление длины дуги кривой, заданной
в прямоугольной системе координат				y f x ,
Покажем, что если линия L			есть график функции
a x b, имеющей непрерывную производную, то ее длина
	b
		1 f x 2 dx.
l				(2.21)

Рис. 12

Рис. 13

Впишем в линию L ломаную AA1A2 An 1B (рис. 13). Ее вершины имеют координаты

A a; f a ,

A1 x1; f x1 ,

A2 x2; f x2 ,

, An 1 xn 1; f xn 1 , B b; f b .

Подсчитаем

длину

этой

ломаной

по

формуле

f x1 f a f c1 x1 a ,

a c x1 ,так, длина первого звена равна

AA1

a x1

f x1

f a

x a 2 f c x a 2

1 1

1 f c1 2 x1 a ,

a c1 x1.

Аналогично

устанавливается,

что

длина

второго

звена рав-

наA A

1 f c

x , x

, и т.д.,

наконец,

длина по-

b xn 1 , xn 1 cn b.

следнего звена An 1B

1 f cn 2

Следовательно, в силу определения длины линии [формула

(2.20)]

l lim 1 f x 2 x1 a 1 f x 2 x2 x1 1 f x 2 b xn 1 ,

а так как очевидно, что наибольшее звено ломаной и длина наибольшего из отрезков a1;x1 , x1;x2 , , xn 1;b (на которые разбился отрезок a;b ) стремятся к нулю одновременно, то

l lim 1 f c1 2 x1 a 1 f c2 2 x2 x1 1 f cn 2 b xn 1

1 f x 2 dx,т.к. в квадратных скобках стоит интегральная сумма

для написанного интеграла.

Пример 1. Найдем длину линии y 2 xx , 0 x 3.

																			3
										2		3				2	3		3					1
																				1
																				1
Решение. Так как y											x2							x2				x2 , то по формуле (2.21)
Решение. Так как y											x2					3	2	x2				x2 , то по формуле (2.21)
										3						3	2
получаем длину линии
получаем длину линии																									1
		3						3					1													1 3


l			1			2 dx 1 x									d 1 x							1 x 2						\|
					x
														2
														2								1
		0					0																1				0
		0					0														2		1				0
																					2
	2			3 3			2			3						3			2								14
	2						2												2								14
		1 x 2 \|							1 3 2 1 0 2												8 1								.
	3	1 x 2 \|							1 3 2 1 0 2										3		8 1						3		.
	3			0			3												3								3

Здесь воспользовались тем, что d 1 x 1 x dx dx.

Пример 2. Найти длину дуги кривой y 1 x2 1ln x от x 1 до

4 2

x e.

Решение. Воспользовались формулой (2.21). Найдем y :

									1							1								1							1		1					1					1
							y					x2						lnx								2x2 1															x					.
							y					x2				2		lnx						4		2x2 1								x							x					.
Откуда									4							2								4							2			x				2					2x
Откуда															1 2
				2					1						1 2									1 2							1 1											1 2					1			1

					1						x										1				x				2x							2		1						x							2
1 y					1						x										1			4	x				2x		x			x		2		1					4	x			2			4x	2
									2						x									4							x			x									4				2			4x
	1		2				1		1					1					2						1				1 2						1							1	2
		x															x				2 x																x						.
		x									2						x				2 x																x						.
	4						2 4x				2			4												x x									4							x
	4						2 4x							4												x x									4							x
Следовательно,
		e																		e		1			1						1 e										1 e 1
		e		1 y x							2									e		1			1						1 e										1 e 1
l														dx									x					dx					xdx											dx
l														dx									x					dx			2		xdx							2		x		dx
																						2				x					2									2		x
		1				e														1												1										1
	1 x2							1		lnx			e			1		e		2	1 1						lne			1	ln1					1		e	2			1 1 1						e	2		1	.
	1 x2							1					e			1				2	1 1									1						1			2			1 1 1							2		1


	2			2		1		2					1			4					4			2						2						4						4			2		4				4
				2		1							1

Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями

Если кривая задана параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), t1 t t2 ,

то длина дуги кривой вычисляется по формуле

dx 2	dy	2
		dt,	(2.22)

dt	dt

где t1 и t2 – значения параметра, соответствующие концам дуги.

			d
			d		2
Действительно, из формулы (2.21) следует				1 f	x	или
			dx
dl	1 f x	2dx,				(2.23)

где f x dy . dx

Подставляя значение f x в формулу (2.23), получаем выраже-

ние для дифференциала дуги dl dx2 dy2 или

	dx 2	dy	2
dl			dt .	(2.24)

	dt	dt

Проинтегрировав равенство (2.24) на отрезке t1 ; t2 , получим

t2	t2		dx	2	dy	2
dl						dt .


t	t	1	dt		dt
1

По формуле Ньютона - Лейбница находим dl l t2 l t1 . Но

l t1 0,	t1
	обозначив l t2 l, получим формулу (2.22).

Пример 3. Вычислить длину астроиды

х acos3 t;y asin3 t.

Решение. Кривая симметрична относительно обеих координатных осей (рис. 14), поэтому вычислим сначала длину ее четвертой части, расположенной в первом квадранте. Находим

dx 3acos2 t sint; dy 3asin2 tcos t. dt dt

Параметр t изменяется от t = 0 до t = π/2.

Следовательно, по формуле (2.22) имеем

		y
a							1		2
a									2		9a2cos4 t sin2t 9a2sin4 t cos2 t dt
								l
						4		l
				x		4			0
									0
-a	0		a

						2
						2				9a2cos2 t sin2t cos2 t					sin2t dt
										9a2cos2 t sin2t cos2 t					sin2t dt
-a						0


									2						2
									2						2
		Рис. 14				3a					cos2 t sin2t dt 3a cost sintdt =
		Рис. 14							0						0
														cos2 t
						2								cos2 t			2
						3a cost dcost 3a
						3a cost dcost 3a								2
						0								2		0
cos2						0										0
cos2			2	cos2	0						1	3
3a			2			3a					0		a, l 6a.
3a	2			2		3a					0	2	a, l 6a.
	2			2							2	2

Вычисление длины дуги кривой, заданной в полярных координатах

Если кривая задана уравнением в полярных координатах r r ; ,

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия