Материал: 1402

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

то, приняв φ за параметр, найдем (рис. 15)

x r cos ;

y r sin ;

cos rsin ;

sin rcos ;

Формула (2.22) примет вид

dr 2

cos rsin

sin rcos d

d .

Окончательно имеем

dr 2

d .

(2.25)

Пример 4. Найти длину дуги гиперболической спирали rφ = 1 от точки А (2; 1/2) до точки В (1/2; 2) (рис. 16).

Решение. Разрешаем уравнение спирали относительно r: r 1 .

x		r r	B
	φ		φ =2
0	y		φ =1/2

Рис. 15

Рис. 16

При радиус-вектор спирали неограниченно уменьшается и витки спирали неограниченно приближаются к полюсу. Нас интересует длина дуги АВ спирали, соответствующая значениям полярного

угла

от

до

Из

уравнения

спирали

1 2

искомая

длина

находится по

формуле

(2.23):

			2				1				1 2				2						1							1					2		1				1
		l												d											1					d							1				d .
		l						2					2	d									2		1				2	d							1			2	d .
			1												1																		1
					2												2																	2
Введем замену переменной
																			1					1			z,
																			1					2			z,
																								2
тогда
																																1										1
	1			z2			1			z2 1;						1										z2 1						1						z2 1				1

1						;																									2		; d									2 dz
1		2				;		2																							2		; d									2 dz
		2						2								z		2	1
																z			1
	1									1	1									1									3									zdz
	1										1									1																		zdz
				z2		1			2			z2		1 dz								z2 1							2 2z dz
	2			z2		1			2			z2		1 dz						2		z2 1							2 2z dz										3
																																							3
																																				z2 1 2
																																				z2 1 2

zdz

z2 1 z2 1 .

Новые пределы интегрирования находим из соотношения

1	1	z; если	1	,	то zнижн		; если
						5
	2
		2

2, то zверхн 2 .

Таким образом,

5 5 5 5

	2																			zdz									2									z2dz											2					z2 1 1								2								1
	2																			zdz									2									z2dz											2					z2 1 1								2								1
l z z2 1																																																												dz				1								dz
																	z2 1																			z			2																z		2												z	2
																																							2																		2													2
																								z2 1																		1																1													1
						5																		z2 1										5								1									5							1					5								1
																																																																		5
			5									5
			5									5													5																					5																						1
		2								2															5											z 1										5
		2								2				1											2					1															2											5					1				2
dz														1				dz z							2					1		ln																								5			5		1	ln			2
														2																					z 1
														2
													z		1																		2																				2					2								5	1
			5									5														5																					5



																																																																2
	1			ln				5			1								5	1		ln					5	2										1			ln							5		1
	2			ln																		ln																			ln
	2							5 1									2 2										5 2						2															5 1
							1		ln							2							1														1			ln				3-
					5		1								5	2					5		1								5						1							3-								5

	2 2														5 2						5 1								2 2														3+ 5

				3-		2				3-

		1			5						5
	5	1	ln		5			5			5	.
									ln
				22			2		ln
2		2		22			2			2

§ 5. Вычисление объема

Вычисление объема тела по известным площадям его поперечных сечений

Пусть требуется вычислить объем V тела, заключенного между двумя перпендикулярами к оси 0х плоскостями х = а и х = b (рис. 17).

xi-1 ξi

Рис. 17

Предположим, что известна площадь любого сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси 0х. Эта площадь зависит от положения секущей плоскости, т. е. является функцией от х. Обозначим ее через S(x) и допустим, что она непрерывна на отрезке [а; b]. Разобьем отрезок [а; b] на n частей точками

а= х0 < х1 < х2 <... <хn-1 < хn = b

ичерез точки деления проведем плоскости, перпендикулярные к оси

0х.

Эти плоскости разобьют тело на n слоев. Обозначим через ∆Vi (i =1,2, ..., n) объем слоя, заключенного между плоскостями x = xi-1 и х =хi. Тогда ∆Vi приближенно равен объему цилиндра, высота которого равна ∆хi = хi – хi-1, а основание совпадает с поперечным сечением, образованным пересечением тела какой-либо плоскостью х = ξi, где хi-1≤ ξi ≤ хi, т. е. ∆Vi ≈ S (ξi) ∆хi, а объем всего тела

VS i xi .

По определению, принимаем

n	max xi ,
V lim S i xi	max xi ,
0i 1
т. е.
b
V S x dx.	(2.26)
a

Вычисление объема тела вращения

Пусть функция f(x), х [а; b], непрерывна на отрезке [а; b]. Требуется вычислить объем V тела, образованного вращением вокруг оси 0х фигуры, ограниченной линиями y =f (х); у = 0; х = а; х = b (рис. 18).

Так как любое поперечное сечение тела есть круг радиусом y , то площадь сечения будет S(x) = πy2 = πf 2(x).

Применив формулу (2.26), найдем

b	b
V y2dx f 2 x dx.		(2.27)
a	a

y					y	y2=4x
y		y=f(x)


0	a	x	b	x	0	4	x

Рис.18

Рис.19

Пример 1. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси 0х фигуры, ограниченной линиями y2 = 4х; у = 0; х = 0; х = 4 (рис. 19).

Решение. Такое тело называется параболоидом вращения. Применив формулу (2.27), получим

2 42 2 02 32 .

V 4хdx 4

Пример 2. Вычислить объем тела, образованного вращением эл-

липса

х2

1 вокруг оси 0х (рис. 20).

Решение. Рассматриваемое те-

ло называется

эллипсоидом вра-

щения. Эллипс пересекает ось 0х в

точках х = – а и х = а.

Из уравнения эллипса находим

a2 x2

-a

a x

Ввиду симметричности эллип-

са относительно оси 0у вычислим

-b

объем в пределах от 0 до а и полу-

ченный результат удвоим:

Рис. 20

V 2

a2 x2 dx 2

a2dx

0 a

2 a

2 b2 x

2dx 2 b2 dx 2 b

2 x2dx 2 b2x

0 2 b2

0 a

2 b

a 2

2 b2a3

2 b2

4 ab2

3a2

Пример 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси 0х; фигуры, ограниченной линиями y = 2 и y =x2 + 1 (рис. 21).

Решение. Решая систему

y 2;	y 2;	y 2;

y x2 1,	x2 1,	x 1,

находим точки пересечения данных линий: А (–1; 2) и B(1;2). Ввиду симметричности вращающейся фигуры вычислим объем в пределах от 0 до 1 и результат удвоим.

Из рис. 21 видно, что искомый объем равен разности объемов тел, образованных при вращении вокруг оси 0х фигур A1ABB2 и A1ACBB1. Таким образом,

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия