Материал: 1402

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Интеграл f x dx называется сходящимся, если существует пре-

дел в правой части равенства (2.12), и расходящимся, если указанный предел не существует.

Аналогично определяется интеграл от функции, имеющий бесконечный разрыв в правом конце отрезка a;b .

	b		b
	f x dx lim		f x dx, 0.			(2.13)
	a	0	a
Если функция f x	a		a
Если функция f x	непрерывна при a x c;				c x b	и имеет
бесконечный разрыв в точке x c, то полагают
b		c		b
f x dx lim		f x dx lim		f x dx, 0.		(2.14)
a	0	a	0	c
a		a		c

Интеграл f x dx называется сходящимся, если оба предела в

правой части равенства (2.14) существуют, и расходящимся, если хотя бы один из указанных пределов не существует.

На практике для решения вопроса о сходимости несобственных интегралов от неограниченных функций часто используются сле-

дующие признаки сходимости.

Если функция f x имеет бесконечный разрыв в одном из концов интегрирования a;b , например в точке x a, то несобственный ин-

теграл f x dx:

а) сходится, если		M
	f x		и m 1;	(2.15)

		x a m
б) расходится, если
		M
	f x		и m 1,	(2.16)

		x a m
здесь M и m постоянные.

Если же f x имеет разрыв во внутренней точке x c интервала
(a;b), то интеграл разбивают на два: от a до c и от c				до b и при-

меняют указанные признаки к каждому из полученных интегралов.

									1			dx
		Пример 4.										dx				.


									6					x
									6									1
		Решение. Функция																								непрерывна при 0 x 1 и имеет беско-
		Решение. Функция																								непрерывна при 0 x 1 и имеет беско-
																									x								1						1
																																	1						1
нечный разрыв в точке																		x 0, т.к. lim																							.


																														x 0 0 x									0
		Поэтому в силу равенства (2.12)																																			1
1	dx			1				dx								1					1											x		1		1



																																	2												1
			lim							lim x											2dx lim																	lim 2						x
			lim							lim x											2dx lim												1					lim 2						x
		x 0							x			0														0									1
		x 0							x			0														0
0
0																																	2
lim 2							2				lim 2 2lim


						1																									2 2 0 2.
						1																									2 2 0 2.
	0													0										0
		Значит, интеграл сходится и равен 2.
									1					dx
		Пример 5.												dx						.


									0				1 x2					1
		Решение. Функция																1										непрерывна при 0 x 1 и имеет бес-

																							1 x2
																							1 x2																1				1
																																							1				1
конечный разрыв в точке x 1, т.к.																																	lim													.


																																	x 1 0					1 x2					0
		Поэтому в силу равенства (2.12) имеем
1		dx			lim				1					dx					lim arcsinx 1																		lim arcsin 1 arcsin0


																																	\|
0 1 x2							0 0					1 x2											0										0					0
0 1 x2							0 0					1 x2											0															0
lim arcsin 1 lim arcsin0																									arcsin1 arcsin0																	0					.
lim arcsin 1 lim arcsin0																									arcsin1 arcsin0																	0					.
	0											0																													2				2
		Интеграл сходится и равен																													.
		Интеграл сходится и равен																													.
									3																		2
									3					dx
		Пример 6.												dx			.
		Пример 6.												2			.
									0			x 1													1
		Решение.							Функция																1				непрерывна при 0 x 1 и 1 x 3,
		Решение.							Функция													x 1 2							непрерывна при 0 x 1 и 1 x 3,
																						x 1 2
				1								1																					1					1
т.к. lim															и										lim															. Значит, в точке x 1
т.к. lim									2						и										lim								2							. Значит, в точке x 1
		x 1 0 x 1												0											x 1 0 x 1														0

функция имеет бесконечный разрыв. Поэтому в силу равенства (1.15) имеем

3	dx								1				dx							3			dx
					lim
				2	lim									2
	x 1			2		0						x 1		2									1	2
0	x 1								0			x 1								1 x			1
		1																		3														2 1	1
																																		2 1	1

lim			x 1 2 d x 1 x 1 2 d x 1 lim x 1
	0																	1											0		2 1
		0																1																	0
			x 1 2 1							3								1				1					1	3					1		0	1




lim												lim											lim						lim
lim												lim					x 1						lim			x 1			lim
	0		2 1							1			0									0	0					1		0 1 1						0 1
			2 1																			0						1		0 1 1						0 1
																			1						1			1				1
		1							1										1						1			1				1
lim													lim								lim						lim			lim
lim													lim								lim				1		lim			lim
	0 3 1						1 1						0										0		1		0		2		0
lim		1	1				1	lim			1				3			.
lim			1					lim										.
	0					2			0							2

Следовательно, интеграл расходится.

cos

xdx

Пример 7.

cos

Решение. Функция

т.к.

. Но для

lim

x 0 x

имеет бесконечный разрыв в точке x 0,

x 0

cos

, т.к.

cos x

1. Значит,

эта функция удовлетворяет неравенству (2.14) при m 1 1 и M 1.

Следовательно, интеграл сходится.						2
Следовательно, интеграл сходится.
		Задачи для индивидуальных заданий
				Вариант 1
1.	Вычислить следующие интегралы методом замены перемен-
ных:	2
	2			sin xdx
а)	x2	13 xdx;	б)	sin xdx	;	в) cos4 x sin4 x dx.
а)	x2	13 xdx;	б)		;	в) cos4 x sin4 x dx.
	1		0	2 cosx		0
2.	Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходи-
мость

dx
			.
(x 1)	2
		4

Вариант 2

1. Вычислить следующие интегралы методом замены переменных:

xdx

tgxdx

а)

;

б)

;

в)

1 x2

cos

ln x 1

0 2

2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

	ln(x 1)	dx.

	x 1
1

Вариант 3

1. Вычислить следующие интегралы методом замены переменных:

128xdx

arcsin xdx

а)

;

б)

;

в) sin xsin4xdx.

x2 1

1 x2

2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

x2 x2 dx.

Вариант 4

1. Вычислить следующие интегралы методом замены переменных:


3	15xdx		2		2	tgxdx
а)	15xdx	;	б) xsin πx dx;	в)		tgxdx	.
а)	3	;	б) xsin πx dx;	в)			.
2	x2 1		0			sin2x
					6

2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

	dx	dx.
4
	x 3

Вариант 5

1. Вычислить следующие интегралы методом замены переменных:

1	6x	2	dx		1	e	dx
а)				;	б) xex dx;	в)				.
			3				x1 ln	2	x
0	1 2x				0	1

2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

		arctgx
				dx.
	1 x		2
0

Вариант 6

1. Вычислить следующие интегралы методом замены переменных:

π	sin xdx		e	1	2

а)		;	б) x2 ln xdx;	в) x2	3 dx.
	3 cosx
0			1	0

2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

	dx
0		.
	9 x2

Вариант 7

1. Вычислить следующие интегралы методом замены переменных:

2	cosxdx		7	1	4
а)		;	б) ln x 5 dx;	в) x x2	3 dx.
а)	2 sin x	;	б) ln x 5 dx;	в) x x2	3 dx.
0			6	0

2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия