Материал: 1402

Вариант 24

sin2xcos4xdx.

Глава 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§1. Определенный интеграл и его геометрический смысл

Пусть функция F x является первообразной для функции f x в некотором промежутке X, а числа a и b принадлежат этому промежутку.

Определение. Приращение F b F a любой из первообразных функций F x C при изменении аргумента от x a до x b называ-

43

ется определенным интегралом от a до b функции f x и обознача-

b

ется f x dx.

a

Числа a и b называются пределами интегрирования: a нижним, b верхним. Отрезок a;b называется отрезком интегрирования. Функция f x называется подынтегральной функцией, а переменная x переменной интегрирования. Таким образом, по определению,

a

Равенство (2.1) называется формулой Ньютона-Лейбница. Существует и другой подход к введению понятия определенного

интеграла, основанный на рассмотрении пределов интегральных сумм, который в большей степени приспособлен для приложений. Рассмотрим его на примере вычисления площади криволинейной трапеции.

Пусть дана фигура, ограниченная графиком непрерывной и неотрицательной функции y f x , отрезком a;b и прямыми x a; x b (рис. 1). Такую фигуру называют криволинейной трапецией. Найдем ее площадь.

Тогда криволинейная трапеция целиком содержится в прямоугольнике aABb и содержит целиком прямоугольник aCDd (рис. 2).

44

ции p соответствует хотя бы одно значение ее аргумента C, лежаще-

го внутри отрезка a;b . Тогда S p b a . Данное свойство называ-

ется теоремой о среднем.

Найдем теперь площадь криволинейной трапеции S через определенный интеграл. Разобьем криволи-

нейную трапецию на n полос так, как показано на рис. 3. При этом на отрезке появились точки x1, x2,..., xn 1.

В соответствии с формулой (2.2) найдем для первой полосы точку c1,

Такого типа равенство будет иметь место, как бы мы не разбивали криволинейную трапецию на полосы. Длину наибольшего из отрезков обозначим через . Перейдем в нем к пределу при 0, получим

S lim f c1 x1 a f c2 x2 x1 f cn b xn 1 .

0

Обозначим

lim f c1 x1 a f c2 x2 x1 f cn b xn 1 ,

0

b

через выражение f x dx получим

a

45

где xi xi xi 1.

Суммы вида (2.4) называются интегральными суммами функции f x .

Очевидно, что при различных разбиениях отрезка a;b на части получим различные интегральные суммы вида (2.4). Таким образом, для данной функции f x и данного отрезка можно составить бесконечное множество интегральных сумм вида (2.4), которые зависят от числа n и от выбора точек деления xi и точек ci xi 1;xi . В

примере вычисления площади криволинейной трапеции точки ci подбирались специально, что не противоречит определению определенного интеграла через пределы интегральных сумм.

Определение. Если при любой последовательности разбиений

46

Если f x непрерывна и неотрицательна, то определенный инте-

b

грал f x dx численно равен площади криволинейной трапеции, ог-

a

раниченной графиком функции f x , осью абсцисс и прямыми x a; x b (см. рис. 1), т.е.

В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла. Без доказательства заметим, что оба определения эквивалентны. Второе определение помогает получить приложение определенного интеграла (вычисление площади и т.д.), а формула Ньютона - Лейбница позволяет вычислить определенный интеграл без вычисления предела интегральной суммы.

Примем без доказательства свойства определенного интеграла:

b c b

1. f x dx f x dx f x dx, с a,b .

a a c b a

2. f x dx f x dx.

a b b

3. f x dx 0.

b

4. Если f x g x при всех x a;b , то

b b

f x dx g x dx.

47