Материал: 1402

b

b

b

a

a

a

3. Интегрирование по частям

b

b

u x dv x u x v x |ba v x du x .

a

a

b

f x dx f t t dt ,

a

где a; b ( f , и

непрерывны).

4

3

x

Пример 1. Вычислить 1 5x

dx.

1

2

4

4

4

4

1

1

1

3 x

3

4

x2 4

3 x2

4

1 5x

dx dx 5 xdx

x2 dx x|1

5

|1

|1

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

3

3

2

3

3

5

5

75

95

x|4

x2

|4 x2

|4 4 1

42 12 42

12

3

7

.

2

1 2

1

1

2

2

1

1

x2

du arctg x

dx

dx,v xdx

.

2

1 x

2

1

x2

arctgx|10

1

x2

1

xarctgx dx

dx

1 x

2

0

2

1

0

2

1

1

02

1

x2

1 π 1

x2 1 1

arctg1

arctg0

0

dx

0

dx

2

2

2

1 x2

2

4

2

x2 1

π 1 1

x2 1

1

π

1 1

1

dx

1

dx

2

1

x

2

1

2

8 2 0 x

8

2 0

1 x

π 1 1

1

1

1

1 1

dx

1

dx

dx

x

2

1

0 1 x

2

8 2 0

8 2

0

2

π

1

1

1

1

π

1

π

x|0

arctgx|0

0

.

8

2

2

8

2

8

4

0

dt d x2 9 ;

Решение.

Сделаем

замену t x2 9, тогда

dt

dt x2

9 dx

; dt 2xdx;

dx

. Новые пределы интегрирования на-

2x

4

25

dt

25

25

1

1

1

3

1

1

2

2

x

x2 9dx x

t

t dt

t2dt

1

t

|925

1

t

|925

2x

2

2

2

1

2

3

0

9

9

9

1

2

2

3

3

3

3

1

1

1

53

33

1

98

252 92

52 2 32

2

125 27

.

3

3

3

3

3

Пример 4. Вычислить

e

dx

.

x

1

1 ln x 2

Решение.

Сделаем замену

t ln x,

тогда

dt d ln x;

dt ln x dx;

dt

1

dx;

dx xdt. Новые пределы интегрирования находим из соот-

x

tнижн ln1 0;

ношения

t ln x;

если x 1,

то

если

x

, то

e

t

ln

1

lne

1

. Таким образом, изменению переменной от

верхн

e

2

2

1

1

1

e

dx

2

xdt

2

dt

1

arcsint|

arcsin

2

arcsin0

1 x 1 lnx 2

0

x 1 t2

0

1 t2

0

2

2sin xdx

Пример 5. Вычислить

.

2

1 cosx

2

Решение. Положим 1 cosx t,тогда dt

dt sin xdx;

1 cosx dx;

dx

dt

. Новые пределы интегрирования находим из соотношения

sin x

π

π

t 1 cosx; если

x

, то

tнижн 1 cos

1 0 1;

если x π, то

2

2

tверхн 1 cosπ 1 1 2.

Таким образом, изменению переменной x

от x

π

до x=2 соответствует изменение переменной t

от tнижн 1 до

2

tверхн 2. Следовательно,

π

2sin xdx

2 2sin x

dt

2

dt

2

t

2 1

2

t

1

2

sin x

2

2 t 2dt

2

2

2

t

2

2

2 1

π

1 cosx

1

1 t

1

1

1

1

2

1

1

2

1 2

1.

2

2

7

dx

Пример 6. Вычислить

.

0

3 (8 x)2

Решение.

Положим

8 x t,

тогда

dt 1dx;

dt 8 x dx;

dx dt .

Новые пределы интегрирования находим из соотношения

t 8 x;

если

x 0,

то tнижн

8 0 8; если x 7,

то tверхн 8 7 1.

Таким образом, изменению переменной x от x 0

до x 7 соответ-

ствует изменение переменной t

от tнижн 8 до tверхн

1, следователь-

но,

1

1

7

1

1

2

2

1

1

dx

dt

t

dt

t 3

t3

33

1

3

t

0 3

8 x 2

8

3 t2

8

2

1

1

8

3

8

3

8

f x dx lim

b

f x dx.

(2.7)

b

a

a

Интеграл f x dx

называется

сходящимся, если

существует

a

b

b

f x dx

lim

f x dx

(2.8)

a

a

Наконец, если функция

f x интегрируема на любом

отрезке

f x dx

lim

f x dx.

(2.9)

b

a a

f x

M

и m 1;

(2.10)

xm

б) расходится, если

f x

M

и m 1,

(2.11)

xm

здесь M и m постоянные.

dx

Пример 1.

.

2

1

x

dx

b

dx

b

x 2 1

b

1

lim

lim

x 2dx lim

|

lim

1

2

2

x

x

b

1

b 0

1

b

1

b 2 11

b

lim

1

lim 1 0 1 1.

b b

b

dx

b

dx

lim ln x|b lim lnb lna lna .

lim

x

x

a

b a

b

a b

cosx

dx.

3

1 x

cosx

1

, т.е. подынтегральная

Решение. Так как

cosx

1, то

x3

x3

и M 1. Сле-

функция удовлетворяет неравенству (1.11) при m 3 1

довательно, интеграл сходится.

Интегралы от неограниченных функций

Если функция f x

непрерывна при a x b и имеет бесконеч-

ный разрыв в точке x 1, lim f x dx , то полагают

x a

b

b

f x dx lim f x dx.

(2.12)

a

0

a