Материал: Приёмы учебно-познавательной деятельности при решении стереометрических задач на построение

В современной дидактике и психологии процесс решения задачи разделён на восемь этапов [55]:

. Анализ задачи;

. Схематическая задача;

. Поиск способа решения задачи;

.Осуществление решения задачи;

. Проверка решения задачи;

. Исследование задачи;

. Формирование ответа задачи;

. Анализ решения задачи.

Взаимосвязь между этапами выражает структуру процесса решения задачи [55]:

Схема 10

Необходимо отметить, что структура процесса решения задачи зависит прежде всего от характера задачи, и выполнение этапов выведенных за пределы линейной зависимости не всегда целесообразно, этапы связанные линейной зависимостью являются обязательными.

Предложенная структура разбивает познавательную деятельность учащихся на учебные действия, которые достигают своей цели тогда, когда они осуществляются с помощью приёмов, раскрывающих способы их осуществления.

Назовём общие приёмы учебной деятельности учащихся по решению задач с указанием адекватных им учебных действий:

1. Приём принятия учебной задачи соответствует первому этапу процесса решения - «анализ задачи» и выполняется с помощью первого учебного действия преобразование условий учебной задачи;

2. Приём поиска решения задач соответствует этапу - «поиск способа решения» и выполняется с помощью второго учебного действия преобразование модели;

3. Приём формирования общего способа решения учебной задачи соответствует этапу - «план решения» и выполняется с помощью третьего учебного действия преобразование модели;

. «Осуществление плана решения» и выполняется с помощью четвёртого учебного действия построение системы частных задач;

5. Приём осуществления контроля за процессом решения выполняется с помощью учебного действия контроль.

Выше было отмечено, что действие контроль присутствует на всех этапах решения учебной задачи. Поэтому, учитывая, что пооперационный контроль может быть рассмотрен только для задач определённого типа, выделим два приема, в которых контроль осуществляется по конечному результату:

• Приём проверки путём решения задачи различными способами соответствует этапу - «анализ решения»;

• Приём установления соответствия полученных результатов данным задачи соответствует этапу «проверка»;

6. Приём оценки результата соответствует этапу «исследование задачи» и выполнение с помощью учебного действия оценка.

Отметим, что приём поиска решения задачи раскрывает способы осуществления общих методов поиска решения определённого вида задач. Большинство задач школьного курса математики решается аналитико-синтетическим методом, поэтому приём, адекватный действию осуществления решения задачи в этом случае, назван приёмом аналитико-синтетического поиска решения задач [18, §3]. В более сложных задачах для поиска решения проводится анализ Евклида или совершённый анализ (рассуждений от требований к условиям). Пооперационный состав каждого приёма возможно выделить только для задач конкретного вида. В следующем параграфе будут рассмотрены содержание и структура приёмов учебной деятельности в процессе задач на построение по теме «Прямая и плоскость».

Выделение общие приёмы учебной деятельности учащихся по решению задач связаны с этапами решения задачи и адекватными или учебными действиями следующим образом (схема 11).

Схема 11

Взаимосвязи между приёмами учебной деятельности (УД) устанавливаются только для задач конкретного вида.

Выше было отмечено, что пооперационный состав каждого приёма учебной деятельности учащегося по решению задачи определяется для задач конкретного вида. Однако, анализ научно-методической литературы и диссертационных исследований показал, что для некоторых приёмов (например, приёма принятия учебной задачи) могут быть выделены общие операции не-зависящие от вида или от типа задач. Рассмотрим эти приёмы и выделим их пооперационный состав.

Предварительно напомним, что в традиционной методике математики выделяются такие виды задач: на вычисление, построение, доказательство и исследование, и, что в проведенной классификации нами выделены два типа задач: стандартные и не стандартные. К стандартным задачам были отнесены задачи алгоритмического и полуэвристического типов, к нестандартным - задачи эвристического типа. Учитывая, признаки задач алгоритмического, и эвристического типов, выделенные с помощью логико-дидактического анализа содержания структурных компонентов действия (цель, способ и условия выполнения действия), можно дать следующие определения стандартных и нестандартных задач.

Математические задачи, для решения которой в школьном курсе математики имеется теоретическая и практическая основа (базис решения, содержащий функциональное отношение), определяющие алгоритм (приём) или последовательность алгоритмов (приёмов) решения задачи, называется стандартной.

Из данного определения следует, что основным признаком стандартной задачи является наличие в курсе таких общих правил и положений, которые однозначно определяют программу решения задачи и выполнение каждого шага программы. Но тогда, нестандартная задача - это задача, для которой в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу её решения.

Из процесса решения любой задачи можно выделить два составленных элемента: анализ задачи и поиск способа решения. Однако, наиболее важным элементом процесса решения задачи является поиск способа решения, который, исходя из данных выше определений, можно назвать основной отличительной особенностью решения стандартной задачи от решения нестандартной задачи. Следовательно, при определении операционного состава приёма поиска решения учебной задачи, необходимо учитывать вид задачи.

Первому из названных этапов решения задач (анализу задачи) соответствует приём принятия учебной задачи. Этот приём определяется мотивационно-ориентировочной компонентной учебной деятельности. Поэтому его содержание должно быть ориентировано на формирование у учащихся определённых мотивов учебной деятельности. С другой стороны реализация приёма осуществляется с помощью первого учебного действия - преобразование условий учебной задачи, которое выявляет основное отношение задачи. Найденное отношение, создавая в задаче информационно-познавательное противоречие, помогает учащемуся осознать условие и требование задачи. Сказанное, позволяет выделить общие операции приёма принятия учебной задачи при решении математической задачи учащимся:

. Внимательно прочитать текст задачи;

. Установить к какому виду принадлежит данная задача;

. Выявить условия (что дано?) и требования (что требуется?) задачи;

. Оформить чертёж, соответствующий условию и требованию задачи (если есть необходимость);

. Записать кратко условие и требование задачи.

Результатом этой деятельности, после выяснения характера задачи её вида, установления условий и требований (конечно, не всегда в полном объёме), является принятие задачи учащимся как цели своей деятельности.

Второй этап решения задачи (поиск способа решения) реализуется приёмом поиска решения учебной задачи с помощью второго учебного действия (моделирование выделенного отношения). На этом этапе, выделенное основное отношение фиксируется учебной моделью, содержащей внутренние характеристики задачи, не наблюдаемые непосредственно (внутреннюю структуру задачи).

Для стандартной задачи учебной моделью является программа - последовательность шагов решения задач данного вида, составленная (если, конечно, такая программа не рассматривалась в курсе математики) на основе общего правила (формулы, тождества) или общего положения (определения, теоремы). Тогда, следующий этап, само решение стандартной задачи состоит в применении полученной модели (общей программы) к условиям данной задачи. Если некоторые шаги программы решения требуют для своего выполнения использования каких-то программ, то в отношении их производятся рассмотренные выше операции (распознавание вида задачи, составление программ решения и осуществление решения на основе этой программы).

Анализ научно-методической литературы показал, что поиск решения любой нестандартной задачи школьного курса математики состоит в последовательном применении двух основных операций:

) Путём преобразования или переформирования свести нестандартную задачу к другой, ей эквивалентной, но уже к стандартной задаче;

) Разбить нестандартную задачу на несколько стандартных подзадач.

Таким образом, приём поиска решения учебной задачи реализуется при решении нестандартной задачи с помощью двух учебных действий: моделирование выделенного отношения и преобразования модели.

Сформируем общие операции приёма поиска решения учебной задачи при решении учащимся математической задачи:

. Провести анализ задачи и установить, к какому типу задач она принадлежит;

. Если предложенная задача является стандартной, то на основе общего правила (формулы, тождества) или общего положения (определения, теоремы) составить программу (если нет готовой) последовательности шагов решения задач данного вида;

. Если предложенная задача не является стандартной, то применить одну из операций:

.1 Разбить данную задачу на стандартные или более простые подзадачи с помощью разбиения на части:

а) условий задачи;

б) объекта задачи;

в) требований задачи;

.2 Ввести в условие вспомогательные элементы (вспомогательные параметры, вспомогательные построения) для:

а) сближения данных и искомых;

б) расчленения задачи на части;

в) придания задаче определённости;

.3 Переформулировать данную задачу, заменив её другой равносильной задачей, которая является стандартной или задачей способ решения кото-рой известен, с помощью:

а) преобразования условия;

б) замены переменных (неизвестных);

в) замены (кодирования) объектов другими;

. Построить учебную модель решения задач данного вида.

Таким образам, при решении математической задачи приём поиска решения учебной задачи определяется структурой (схема 12).

Из проведённых выше рассуждений, следует, что приёмы деятельности могут быть разной степени сложности и обобщённости. Более сложный приём состоит из большего числа действий, включает в себя в качестве составляющих другие приёмы. Приём деятельности назовём обобщённым, если он получен на основе анализа частных приёмов путём выделения общего, неизменного содержания деятельности по решению конкретных (частных) задач. Именно обобщённый приём создаёт ориентировочную основу необходимой деятельности по решению ряда учебных задач и обеспечивает переносимость приёма на широкий круг новых частных задач.

Схема 12

Таким образом, обобщённый приём решения школьных математических задач имеет структуру (схема 13).

Схема 13

психологический учебный познавательный математика

Глава 2. Проблема формирования приёмов учебной деятельности в научно-методической литературе и практике обучения математики

Проведённый в предыдущей главе анализ психолого-педагогических основ деятельностного подхода показал, что цели данного подхода в области обучения решению задач достигаются тогда, когда они реализуются через формирование приёмов учебной деятельности учащихся по решению задач. Следовательно, с точки зрения деятельностного подхода, процесс обучения решению задач происходит в процессе формирования у учащихся приёмов учебной деятельности по решению учебных задач.

Однако, прежде чем рассматривать формирование приёмов учебной деятельности учащихся по решению стереометрических задач на построение, выделенных в параграфе 4, необходимо рассмотреть следующие вопросы:

. Для каких видов задач выявлены приёмы учебной деятельности.

. Как формируются выделенные приёмы у учащихся в учебном процессе.

Ответ на первый вопрос может быть найден после проведения анализа научно-методической литературы, а на второй - практики школьного обучения.

§1. Проблема формирования приёмов учебной деятельности в научно-методической литературе

Рассматривая вопрос о формировании приёмов учебной деятельности в научно-методической литературе, выделим следующие направления:

. Разработка различных советов, рекомендаций, указаний, вопросов, правил и т.д. для решения математических задач.

. Выявление приёмов для решения и составления математических задач.

. Выявление приёмов учебной деятельности учащихся по решению математических задач.

Остановимся на каждом, из перечисленных выше, направлений.

Представители первого направления Д. Пойа, Ю.М. Калягин, Л.М. Фридман и другие предлагают различные рекомендации, советы в процессе решения задач.

При анализе условия и требования задачи Д. Пойа предлагает обращаться к учащимся со следующими вопросами: Что гласит задача? Что дано? Что нужно найти? Определено ли неизвестное данными задачи? Или недостаточны, или чрезмерны? Нельзя ли сформулировать задачу иначе? Нельзя ли найти связь между данной задачей и какой-нибудь задачей с известным решением? Или с задачей, решающейся проще? Решающейся сразу [39]?

Отвечая на вопрос: Как же научиться решать задачи? Л.М. Фридман предлагает следующее:

Во-первых, надо научиться анализировать сами задачи.

Это значит, что нужно уметь расчленять задачу на элементарные условия и требования. А в каждом элементарном условии видеть объект и его характеристику, если же объектов в условии несколько, то выявить их отношение (связь). Нужно также установить характер каждого требования (вопроса) и тем самым определить вид задачи;

Во-вторых, надо хорошо понять, что решение любой задачи есть последовательное применение каких-то знаний (главным образом математических) к условиям данной задачи, получение тем самым из этих условий следствий (промежуточных решений) до тех пор, пока не получим такие следствия, которые являются ответами на требования (вопросы) задачи.

А для того чтобы получать эти следствия, надо хорошо знать и помнить все знания (определения, правила, форму, теоремы и т.д.) из курса математики. Без этих знаний решать задачи невозможно;

В-третьих, надо уметь использовать основные методы решения задач. А их всего лишь три: разбиение задачи на подзадачи, преобразование (моделирование) задачи и метод вспомогательных элементов.

Получив задачу, проанализировав её, построив её схематическую запись (если надо), дальше надо действовать, как правило, в таком порядке:

. Если можно, разбить сложную задачу на более простые подзадачи.

При этом в ряде случаев это разбиение можно производить последовательно, вычисляя из данной задачи её подзадачи одну за другой.

. Если же разбить сложную задачу на подзадачи не удастся, то надо, если можно, преобразовать её в более простой, более знакомый вид.

Для этого можно использовать различные приёмы: тождественные преобразования данных выражений, замену переменных (неизвестных), различные замены объектов задачи другими более знакомыми или более удобными объектами и т.д.

Самый простой приём заключается в том, что сопоставляя между собой условия задачи, делают такие выводы, которые позволяют преобразовать задачу в более простой вид.

. Если же разбить задачу на подзадачи или преобразовать её в более простой вид непосредственно не удаётся, то надо попытаться ввести какие-либо вспомогательные элементы, с тем чтобы получить задачу, которую или можно разбить на подзадачи, или же преобразовать в более простой вид [54, с.179].