Материал: Приёмы учебно-познавательной деятельности при решении стереометрических задач на построение

В первом случае мы ограничиваемся воображаемым построением прямых, плоскостей, сфер, мысленно определяем их взаимное расположение и находим точки и линии их пересечения, т.к. в действительности не существует реальных инструментов, при помощи которых можно было бы строить сферы, плоскости и прямые в пространстве.

Геометрические построения на проекционном чертеже обладают «эффективностью», т.е. задачи с различными пространственными фигурами решаются на таком чертеже почти так же, как это должно было бы осуществляться в самом пространстве с выполнением необходимых операций и фактическим построением искомых элементов. Во многих случаях при этом чертёж должен быть полным и метрическим.

Любая задача на плоскости в стереометрии может быть решена на проекционном чертеже, но в начале она должна быть решена мысленно, т.е. решающему задачу должно быть ясно, что и как надо сделать, какие геометриические образы использовать, какие операции необходимо проделать, каким преобразованиям следует подвергнуть фигуру, чтобы решить задачу, а затем уже это решение перенести на чертёж.

При решении планиметрических задач на построение пользуются схемой решения состоящих из четырех этапов:

) анализа;

) построения;

) доказательства;

) исследования.

Рассмотрим цели каждого этапа выше указанной системы.

1. Анализ. Это самая важная часть решения, т.к. целью её является разыскивание цели построений, способных привести от данной фигуры к искомой.

Сначала строим искомую фигуру произвольно, а данную - в том отношении к искомой, которое указано в задаче. После этого ищем цепь построений, приводящих от данной фигуры к искомой. Для этого, прежде всего смотрим, нельзя ли, пользуясь уже известными нам решениями более простых задач построить по данной фигуре хотя бы часть искомой им, вообще, такую фигуру, от которой легче перейти к искомой. Указанным способом мы пытаемся свести решения данной задачи к решению более простых. Если этого сделать не удаётся или же решение задач, к которым мы свели данную задачу, нам неизвестно, то можно обратиться к свойствам различных геометрических преобразований - стереометрии, гомотетии и т.д., применение этих свойств называется, методом симметрии, методом гомотетии и т.д. (методы решения геометрических задач на построение рассмотрим ниже).

Таким образом, анализ на построение включает следующие этапы процесса решения математических задач: «анализ задачи» и «поиск способа решения».

Заметим так же, что для анализа выбирается фигура F возможно более общего вида. Вследствие этого найденное построение может оказаться непригодным при более частном виде фигуры F, но этот вопрос удобнее рассматривать при исследовании задачи. Однако, сказанное означает, что в ряде случаев анализ (поиск решения) содержит и этап - «исследование задачи» или «анализ решения».

2. Построение. В этой части результаты анализа приводятся в порядок, т.е. указывают последовательность гласных операций, которые необходимо выполнить для построения искомой фигуры. Этого будет достаточно, если задача решается в воображении. Если она решается на проекционном чертеже, то решение должно быть оформлено графически при помощи чертёжных инструментов.

Итак, этап «построение» при решении геометрической задачи на построение включает этапы: «план решения» и «осуществление решения» (если задача решается на проекционном чертеже) процесса решения математических задач.

3. Доказательство. Из рассуждений, приводимых при анализе, следует, что искомая фигура, если она имеет достаточно общий вид, может быть получена из данной, связанной с нею условием задачи, с помощью найденного построения. Но, в некоторых случаях, одно и тоже построение может привести к нескольким фигурам F. В большинстве случаев все эти фигуры удовлетворяют условию задачи. Но возможны и исключения вследствие того, что при анализе условие задачи принимается во внимание не полностью. Таким образом, доказать - это значит проверить, что найденное построение приводит только к фигурам, удовлетворяющим условию задачи. В том случае, когда построение приводит только к одной фигуре F, необходимость в доказательстве отпадает.

Этапу доказательство соответствует этап «проверка» процесса решения математических задач.

4. Исследование. До сих пор только искомая фигура F предполагалась заданной произвольно, а данная фигура f должна была находиться к искомой в отношении, указанном в задаче. Но если задать произвольную фигуру f, то может случиться, что не существует фигуры F, связанной с ней условием задачи. Далее, может случиться, что в зависимости от выбора данной фигуры f меняется число решений задачи. Сюда можно включить и случай невозможности решения, когда число решений равно нулю. Выяснение числа решений в зависимости от выбора данных составляет основную цель исследования задачи. На этот вопрос даёт ответ изучение найденного построения. Например, решение не возможно тогда и только тогда, когда найденное построение не выполнимо. В самом деле, из анализа видно, что в том случае, когда искомая фигура F существует, она всегда может быть получена из данной фигуры f с помощью найденного построения.

Таким образом, производя исследование, необходимо их конфигурации рассматривать в их логической последовательности. Результаты исследования целесообразно оформлять в виде таблицы.

Этапу «исследование» - соответствует этап «исследование задачи» процесса решения математических задач.

Из рассуждений, проведённых выше, следует, что взаимосвязь этапов решения задачи на построение с этапами решения произвольной математической задачи можно изобразить следующей схемой:

§2. Методы решения геометрических задач на построение

Для решения геометрических задач на построение существуют следующие методы: метод геометрических мест, метод параллельного перенесения, метод симметрии, метод обратности и алгебраический метод. Все перечисленные методы основываются:

) на геометрических местах точек;

) на геометрических соответствиях

) на применении алгебры.

Схема 14

Таблица 2

Изложим краткую суть каждого из перечисленных методов.

Метод геометрических мест основан на понятии о геометрическом месте точек.

Геометрическим местом точек называется такой геометрический образ, все точки которого обладают определённым свойством, каким не обладают точки, не принадлежащие этому геометрическому образу.

В курсе геометрии средней школы основными геометрическими местами являются следующие:

В планиметрии:

) прямая (одна прямая, пересекающиеся прямые, параллельные прямые, определённый отрезок прямой);

) окружность (одна окружность, две концентрические окружности; дуга сегмента, вмещающего данный угол).

В стереометрии:

) прямая в пространстве (параллельные прямые);

) плоскость (параллельные плоскости);

) боковая поверхность круглого цилиндра;

) боковая поверхность круглого конуса;

) шаровая поверхность.

Метод геометрических мест состоит в следующем: предложенную геометрическую задачу на построение, прежде всего, сводят к отысканию одной или нескольких точек, каждая из которых должна удовлетворять определённым условиям.

Если требуется найти точку, которая удовлетворяла бы двум определённым требованиям или условиям I и II, то эту задачу разбивают на две подзадачи: 1) найти точку, удовлетворяющую условию I и 2) найти точку, удовлетворяющую условию II. Бесконечное число точек, являющихся решением 1-й подзадачи, представит собою некоторое вполне определённое геометрическое место точек (прямую или окружность, или отрезок прямой, или другую окружность и т.д.). Обозначим это геометрическое место точек буквой G₁. Равным образом, бесконечное число точек, являющихся решением 2-й подзадачи, также образует геометрическое место точек, которое обозначим буквой G₂. Затем выясним, пересекаются ли найденные геометрические месс-та G₁ и G₂. Если G₁ и G₂ не пересекаются и не касаются друг друга, то искомая тачка не существует, и, значит, задача не имеет ни одного решения. Если геометрические места G₁ и G₂ касаются одно другого в одной или нескольких точках, то каждая из них является искомой. Равным образом, если G₁ и G₂ пересекаются в одной или в нескольких точках, то каждая из них является искомой.

Вопрос о числе общих точек двух геометрических образов можно решить с помощью таблицы 3, которая может быть дополнена различными сочетаниями пространственных геометрических мест.

Метод параллельного перенесения состоит в том, что в наброске предполагаемого решения геометрической задачи на построение производят параллельное перенесение фигуры или отрезков, входящих в искомую фигу-ру, чтобы обнаружить зависимости, позволяющие выполнить требуемое по-строение.

Смотря по тому, что именно подвергалось параллельному перенесению, в результате можем получить либо новое расположение линий, которое делает очевидным, как надо выполнить требуемое построение либо новое

Таблица 3

расположение фигур, позволяющее установить путь к решению, либо новую фигуру, которая является частью искомой фигуры, конструктивно с нею связана, легко может быть построена.

Метод симметрии состоит в том, что для точек, линий и фигур, имеющиеся в чертеже предполагаемого решения геометрической задачи на пост-роение, вводят их симметричные геометрические образы и, рассматривая их связи с начальным чертежом, определяют зависимости позволяющие выполнить требуемое построение.

В геометрии различают два вида симметрии: относительно точки и относительно прямой. При решении геометрических задач на построение, определяемых программой средней школы, большей частью приходится иметь дело с симметрией относительно оси.

Применяя метод симметрии, следует за ось симметрии принимать такую прямую, которая либо дана, либо легко может быть построена. В несложных задачах, решаемых методом симметрии, лишь только перегнём чертёж по целесообразно выбранной оси симметрии, как становится очевидным тот приём, каким может быть получено требуемое построение. В более сложных задачах, решаемых методом симметрии, требуемое построение находится следующим образом:

) во вспомогательном чертеже, сделанном в предположении, что задача решена, строят симметричную фигуру (линию, точку);

) временно изменяют условие предложенной задачи, а именно: тем требованиям, какие относятся к данной фигуре (линии, точке), подчиняют симметричную ей фигуру (линию, точку) и решают эту вспомогательную задачу;

) когда выполнено построение, представляющее собою решение вспомогательной задачи, посредством каких операций можно получить решение предложенной задачи.

В пространстве рассматривают третий вид симметрии относительно плоскости.

Метод спрямления состоит в том, что, с целью открыть зависимости для решения данной геометрической задачи на построение, в чертеже предполагаемого решения некоторые отрезки перекладывают так, чтобы вместо ломанной линии получится отрезок, равный сумме или разности её звеньев, и вместе с тем образовалась фигура, которая конструктивно связана с данной и легко может быть построена.

Применение этого метода состоит из следующих операций:

) если в условии задачи дана сумма (S) определённых отрезков, то на схематическом чертеже, представляющем собою предполагаемое решение, продолжают определённые отрезки, на полученной прямой откладывают примыкающие к этому отрезку другие отрезки и получают отрезок, равный S. Если же в условии задачи дана разность (d) двух определённых отрезков, то на схематическом чертеже, на большем из этих отрезков, откладывают меньший так, чтобы получить отрезок, равный d;

) найденный таким образом отрезок, равный сумме или разности определённых отрезков, приводят посредством вспомогательных линий в связи со схематическим чертежом и получают новый, более сложный, схематический чертёж;

) выясняют, посредством каких операций можно построить этот новый схематический чертёж, но строят его так, чтобы входящие в него линии имели длину, указанную в условии задачи;