. Применение обучающих алгоритмов доказательств (или предписаний) определённых типов утверждений. Следует отметить, что чем лучше учащиеся владеют различными алгоритмами доказательства тех или иных типов утверждений, тем выше уровень их умений осуществлять поиски доказательств.
Если обратиться к пособиям по геометрии, то нетрудно заметить, что систематически и целенаправленно такая работа не приводится и все же можно выделить ряд общих алгоритмов доказательства определённых типов теорем и задач на доказательство.
Усвоение всех выделенных компонентов осуществлять по методике, разработанной с учётом основных положений ассоциативной теории поэтапного формирования умственных действий. В соответствии с этой методикой можно выделить следующие пять основных этапов работы:
I. На приёмах специально подобранных доказательств в каждом из них выделяются компоненты, составляющие содержание ориентировочной деятельности.
II. Выделяются общие компоненты всех этих доказательств.
III. Проводится раздельное закрепление компоненты всех этих доказательств.
IV. На основе этих компонентов составляется план, алгоритм или эвристическая схема доказательства.
V. Осуществляется закрепление данных действий в целом.
На каждом этапе используются такие приёмы, как принцип вариаций, сравнение наблюдаемых частных фактов (сопоставление и противопоставление) и специальные проблемные ситуации, ставящие учащегося в положении исследователя.
Опыт показывает, что систематическое проведение такой работы обеспечивает повышение умений учащихся доказывать теоремы и решать задачи.
В статье «Геометрические задачи на построение как средство повышения интереса учащихся восьмилетней школы к изучению математики» [40, с.67-73] С.Н. Садыхов останавливается на следующих методических приёмах, хорошо себя зарекомендовавших на практике обучения в ряде школ Азербайджанской ССР:
. Решение задачи различными способами.
. Использование одной задачи для решения других типовых задач.
. Решение сложных задач комбинированием ранее решённых простых задач.
Южусов Ф.М. в статье «Некоторые аспекты совершенствования обучения геометрии в восьмилетней школе» [40, с.74-77] рассматривает роль системы задач в качестве средства обучения для эффективного изучения математики учащимися. Автор подчёркивает, что задачи являются тем средством обучения, без применения которого нельзя добиться прочного и сознательного усвоения учащимися программного материала, всестороннего развития и воспитания, приобщения учащихся к труду. В некоторых случаях упорядоченные комплексы математических задач выступают в качестве ведущего средства обучения при изучении того или иного раздела математики (например, в форме проблемного обучения, в ходе применения исследовательского и частично-поискового методов обучения).
Решая математические задачи, представленные в продуманной системе, учащиеся не только активно овладевают содержанием курса математики, но и приобретают умения мыслить творчески. Это проявляется, например, в умении изменить условие задачи с целью применить тот или иной метод. Приём; в умении изобретать новые приёмы для решения задач; в умении выделять и накапливать потенциально полезную информацию; в умении конструировать на базе данной задачи новые; в умении осуществлять самоконтроль, исследовать результат решения и т.п.
В статье Саранцева Г.И. «О методике обучения школьников поиску решения математических задач» [40, с.123-131], исходя из концепции обучения деятельности, рассматривается обучение школьников решению геометрических задач. Наряду с вопросами теории обучения решению задач (Закономерности поиска решения геометрических задач. Умение анализировать условие задачи.), рассматриваются эвристические приёмы поиска решения геометрических задач.
Эвристическая схема, способствующая поиску решения наиболее распространённых задач с определённым требованием, может быть таков.
. Прочитайте задачу.
. Выделите условие и требование задачи, запишите их, сделайте рисунок.
. Замените термины, содержащиеся в требовании задачи, определением понятий, которые они обозначают, либо их признаками.
. Если необходимо, преобразуйте требование задачи в равносильное ему. Попробуйте выразить требование задачи на векторном, координатном языке.
. Установите те положения, из которых следует требование задачи.
. Прочитайте ещё раз условие и, сообразуясь с соотношениями, из которых следует требование задачи, выберите одно из них.
. Выявите информацию, непосредственно содержащуюся в условии.
. Старайтесь из полученной информации получить новую информацию и так до тех пор, пока не осуществите «стыковку» полученной информации с положением, принятым в п.6.
. Если выбранный путь не привёл к успеху, то рассмотрите другой путь, «идя» по нему до «стыковки» с новым положением п.5.
. Продолжайте рассматривать возможные пути до тех пор, пока не придёте к одному из положений п.5.
Эта схема не только направляет процесс поиска решения задачи, но и является источником самостоятельных обобщений заданных в схеме принципов.
Если же рассматриваемая задача содержит неопределённое требование, то, после того как высказана гипотеза, осуществляется поиск согласно приведённой схемы.
Целесообразность выбора метода решения задачи осуществляется после п.5. Сообразуясь с условием данной задачи, выбирается один из известных учащимся методов решения. С этого момента «включаются» в работу и специфические умения, характеризующие деятельность по овладению тем или иным методом.
Статья Канина Е.С. и Нагибина Ф.Ф. [40, с.131-138] «Заключительный этап решения учебных задач» ограничивается рассмотрением заключительного этапа решения задач, методика которого по существу не разработана.
Выдающийся советский математик-педагог А.Я. Хинчин в известной статье о формализме в школьном преподавании математики делился своим опытом работы с математической статьёй: «…я начинаю размышлять над тем, какие новые задачи встают в связи с результатами усвоенной мной статьи. Все возникшие в моём воображении задачи я тщательно записываю в виде вопросов и пытаюсь их разрешить, продолжая эти попытки до тех пор, пока мне не удаётся изучить степень сложности каждой из поставленных задач [57]. Американский математик Норбет Винер писал: «В науке часто недостаточно решить какую-нибудь задачу или группу задач. После этого нужно присмотреться к этим задачам и заново осмыслить, какие же задачи вы решили. Нередко, решая одну задачу, мы автоматически находим ответ и на другой вопрос, о котором раньше вовсе не думали» [9]. Д. Пойа, успешно разрабатывающий проблемы методики математических задач, писал о решении математических задач: «Резервируйте при этом немного времени для ретроспективного разбора законченного решения - это может помочь при решении последующих задач» [38].
Приведенные высказывания дают основания сделать следующий вывод:
) заключительный этап является необходимой и существенной частью решения задачи;
) основным содержанием его должно быть осмысление выполненного решения, формулирование и решение (если оно окажется возможным) других задач, явно связанных с решённой, и извлечение из всей проделанной работы выводов о том, как находятся и выполняются решения.
Эти общие положения подтверждающиеся и повседневной практикой обучения математике, в особенности опытом учителей математики, добивающихся высокого уровня математической подготовки своих учеников.
Авторы рассматривают составные части заключительного этапа решения задачи:
I. Обсуждение задачи и её решения. Эта часть включает в себя:
а) Более полное использование входной информации задачи (того, что дано) с целью сделать более полной выходную информацию (то, что находится);
b) Математические выводы, к которым приводят задача и полученная выходная информация;
c) Обсуждение работы по поиску решения;
d) Выявление связи задачи с ранее решёнными задачами.
II. Поиски и осуществление новых способов решения задачи их сравнение и выбор лучшего варианта решения. Решение задачи несколькими способами являются одним из путей проверки правильности полученного результата.
III. Формулирование и решение некоторых других задач, «порождённых» разобранной. Эту часть заключительного этапа можно назвать развитием темы задачи. В методическом отношении развитие темы задачи особенно ценно тем, что приучает учащихся к переконструированию задач, а это, как известно приём поиска решений.
IV. Полезные выводы из проделанной работы. Имеются в виду фиксации из проделанной работы о том, как в подобных случаях находится и осуществляется решение. А также, какие особенности задач подсказывают приём решения.
Основные методические приёмы проведения заключительного этапа по работе с задачей - это классная беседа, изложение учителя, самостоятельная работа учащихся и фронтальное или индивидуальное чтение учебника. Особенно часто пользуются первым из этих приёмов. На заключительном этапе работы с задачей учащимся могут быть предложены следующие вопросы:
) Что общего в этих задачах?
) Чем они отличаются?
) С какими задачами они сходны?
) чем отличаются от них?
) Какие выводы должны быть сделаны из решения данных задач?
) Что лежит в основе решения данных задач?
) В чём состоит идея решения данной задачи?
) Какое решение более удачное, рациональное, изящное?
) Что вы узнали нового из решения данных задач?
) Какие задачи вы научились решать?
В пособии «параллельные проекции и решение задач по стереометрии» наряду с другими вопросами А. Б. Василевский рассматривает «Обобщённые приёмы решения задач по геометрии в десятом классе» [7].
При изучении тем «Координатный метод в пространстве», «Многогранники», «Фигуры вращения» применяются все основные свойства фигур, рассмотренных в девятом классе. Поэтому успешное изучение материала десятого класса невозможно без систематического повторения важнейших понятий стереометрии и взаимного положения прямых и плоскости. Такое повторение целесообразно вести через решение задач. Анализ действующих учебных пособий по геометрии для IX-X класса показывает, что в них есть задачи, работа над которыми позволяет обучить учащихся обобщённым приёмам, которые дают возможность им успешно определять элементы многогранников и фигур вращения.
Перечислим обобщённые приёмы решения задач по геометрии в десятом классе:
. Систематическая работа по построению чертежей, их обоснование и составление плана решения задачи по готовым чертежам.
. Систематическая работа по составлению устных планов решения задач по готовым чертежам.
. Решение задач на определение радиуса шара, вписанного в многоугольник, и шара, описанного вокруг многоугольника.
. Обучение учащихся векторному решению геометрических задач, применяя общий план векторного решения задач.
. Осуществление единого подхода при выводе формул объёмов многогранников и фигур вращения.
. Осуществление единого подхода к определению и выводу формул площадей всех фигур вращения.
Таким образом, в опыте работы передовых учителей новизна в методах обучения математике проявляется в том, что основной акцент ставится не на запоминание школьником учебной информации, а её глубокое понимание, сознательное и активное усвоение, на формирование у школьников умения самостоятельно и творчески применять эту информацию в рамках учебной практики.
Именно эту мысль имел в виду один из известных
специалистов по технической кибернетике А.А. Фельдбаум, говоря о том, что
накопление знаний играет в процессе обучения немалую, но отнюдь не решающую
роль. Человек может добыть многие конкретные факты, на базе которых
совершенствовались его качества. Но если они достигли высокого уровня, то
человек справится со сложнейшими задачами, а это означает, что он достиг
высокого уровня культуры (мышления) [52].
Глава 3. Содержание и структура
приёмов учебной деятельности в процессе решения задач на построение по теме
«Прямая и плоскость»
Изучение темы «Прямая и плоскость» является начальным этапом обучения учащихся Х классов основам стереометрии.
При изучении предыдущего раздела геометрии (Планиметрия) у учащихся выработался определённый порядок привычных действий, называемых в физиологии динамическим стереотипом.
Приступая к изучению нового раздела геометрии, ученики встречаются с новым видом учебного материала - задачами на построение в пространстве. Для решения такой задачи, необходимо представить себе очертания и форму геометрической фигуры, данной в условии, уяснить взаимосвязь отдельных элементов фигуры между собой и общий вид предполагаемого решения. Это заставляет учеников приспосабливаться к новой форме изучения материала, т.е. вырабатывать новый динамический стереотип. Его динамичность заключается в постоянном изучении и совершенствовании. Если эти изменения происходят постепенно, то переход от одного динамического стереотипа к другому не вызывает никаких трудностей. В описываемом процессе происходит довольно резкая смена динамических стереотипов, что и составляет физиологическую суть трудностей, возникающих у учеников, особенно в начальной стадии изучения темы.
Используемые в настоящее время учебные пособия и учебники не в полной мере отвечают требованиям обучения учащихся решению задач на построение в пространстве. Они больше пригодны для контроля знаний и содержат недостаточное количество задач по указанной теме.
С целью облегчения процесса обучения на кафедре методики преподавания математики и математического анализа Приднестровского Государственного Университета разработаны методики основы формирования приёмов учебной деятельности учащихся в процессе решения задач на построение на взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, а так же построена система задач, обладающая свойством структурной полноты.
В этой главе рассмотрим приёмы учебно-познавательной деятельности учащихся при решении стереометрических задач на построение, выявленные среди приёмов умственной деятельности обучении математике, на основе современных психологических и дидактических теорий. Кроме этого использовались результаты, полученные в предыдущей главе: структура обобщённого приёма решения математических задач; общие приёмы учебной деятельности учащихся по решению задач с указанием адекватных им учебных действий; взаимосвязь этапов решения задачи с приёмами учебной деятельности; общие операционные составы приёмов принятия учебной задачи и поиска решения учебной задачи при решении учащимися математической задачи, структура приёма поиска решения учебной задачи.
Предварительно рассмотрим некоторые особенности
геометрических задач на построение и приём соглашения, позволяющие
рассматривать примеры решения указанных задач.
§1. Стереометрическая задача на
построение
Задачи на построение являются традиционными задачами в курсе геометрии. Разработкой методов решения этих задач математики занимаются ещё с времён Древней Греции. Уже математики школы Пифагора (VI в. до н.э.) решили довольно сложную задачу построения правильного пятиугольника. Интерес к задачам на построение объясняется не только их красотой и оригинальностью методов решения, но и большой практической ценностью. Проектирование строительства, архитектура, конструирование различной техники основаны на геометрических построениях.
Обычно задача на построение ставится как требование из заданных элементов в соответствии с какими-то условиями, с помощью определённых инструментов построить названную геометрическую фигуру или же совокупность удовлетворяющих указанным свойствам [54, с.106].
Таким образом, в каждой задаче на построение требуется построить фигуру F-искомую - по другой фигуре f-данной, к которой она должна находиться в определённом отношении.
При решении конструктивных задач на плоскости мы при помощи чертёжных инструментов проводим простейшие построения, которые постепенно расширяют данную фигуру f, добавляя к ней прямые и окружности, пока не получится фигура, содержащая фигуру F.
Геометрические построения в пространстве более трудны, чем геометрические построения на плоскости. Стереометрические задачи на построение решаются двумя различными методами: в воображении и при помощи выполняемых чертёжными инструментами построений на проекционном чертеже, развёртке геометрического тела или на каком либо его сечении.