Материал: Приёмы учебно-познавательной деятельности при решении стереометрических задач на построение

) когда новый вспомогательный чертёж построен, то остаётся выяснить, что надо сделать, чтобы получить требуемое в задаче построения.

Метод подобия состоит в следующем: если данные геометрической за-дачи на построение таковы, что, отбросив одно из них, можно построить множество фигур, подобных искомой, то сначала строят какую-нибудь из этих фигур, а затем, принимая во внимание отброшенное данное, строят искомую фигуру.

Метод подобия основан на такой конструктивной связи между искомой фигурой и той, которая дана или которую легко построить, которая состоит в том, что искомая фигура подобна вспомогательной, причём известные величины двух сходных отрезков этих фигур.

Метод обратности заключается в том, что в некоторых случаях сначала так изменяют условие предложенной геометрической задачи на построение, чтобы искомые стали данными, а данные исходными, а затем решив эту обратную задачу, определяют те зависимости, посредством которых можно решить предложенную задачу.

Алгебраический метод решения геометрических задач на построение состоит в следующем:

) неизвестные величины, фигурирующие в условии задачи, обозначают буквами x, y, z и т. д.;

) составляют уравнения, связывающие эти неизвестные с данными в задаче величинами a, b, c, …;

) решают составные уравнения;

) исследуют полученные ответы;

) выполняют требуемое построение.

Для выполнения построений необходимо уметь строить отрезки, которые определяются следующими формулами:

1. , где n целое число;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

§3. Основные соглашения и задачи

Во всякой геометрической задаче на построение требуется по каким-либо данным найти некоторые геометрические элементы, удовлетворяющие тем или иным условиям. Однако содержание планиметрической задачи на построение не исчерпывается указанием данных и формулировкой того, что требуется найти. Столь же важное значение имеет и указание на те средства, с помощью которых задача должна быть решена, на те инструменты, при помощи которых построение должно быть выполнено. В зависимости от того, какие инструменты имеются ввиду, смысл одной и той же задачи коренным образом меняется. Например, задача «разделить на три равные части угол 1200» решается непосредственно с помощью транспортира, но не разрешима с помощью циркуля и линейки.

В пространстве вопрос о допустимых средствах решения представляется менее определённым и поэтому более сложным. Это объясняется тем, что фактически не существует таких инструментов, которые в пространстве играли бы ту же роль, какую на плоскости играют линейка и циркуль. В пространстве приходится в процессе решения задачи строить по тем или иным данным плоскости, линии пересечения плоскостей и производить различные планиметрические построения в построенных плоскостях. Очевидно, что такие построения нельзя выполнить с циркулем и линейкой. Начертательная геометрия даёт способы построения указанных фигур, но это выходит за рамки элементарной геометрии. Поэтому, мы, чтобы иметь определённое указание на допустимые средства решения, примем следующие определения.

Под пространственным решением стереометрической задачи на построение мы будем понимать сведение её к конечному числу некоторых простых задач, которые считаются непосредственно разрешимыми.

За непосредственно разрешимые задачи примем следующие:

Задача I. Провести плоскость через три известные точки, не лежащие на одной прямой.

Задача II. Определить линию пересечения двух известных плоскостей.

Задача III. В известной плоскости решить любую задачу, разрешимую «с помощью циркуля и линейки». Решить задачу на построение в плоскости с помощью циркуля и линейки - значит, свести её к выполнению точно определённого числа следующих построений:

а) провести прямые линии через две известные точки;

b) определение точки пересечения двух известных прямых;

с) провести окружность с известным центром и известным радиусом;

d) определение точки пересечения известной окружности (частный случай - откладывание отрезка равного данному);

е) определение точек пересечения двух известных окружностей.

Задача IV. Выбрать произвольную точку, лежащую или не лежащую на известной прямой (в соответствии с аксиомой стереометрии), лежащую или не лежащую в известной плоскости (в соответствии с аксиомой стереометрии); выбрать произвольную прямую проходящую или не проходящую через известную точку, лежащую или не лежащую в известной плоскости; выбрать произвольную плоскость, проходящую или не проходящую через известную точку, проходящую или не проходящую через известную прямую.

В приведённых формулировках под «известными» понимаются те точки, прямые, окружности и плоскости, которые либо даны в самом условии задачи, либо уже определены на предыдущих этапах решения задачи, либо выбраны произвольно (в соответствии с аксиомами) в задачах II, III(b), III(d), III(e) предлагается оговорка «если эти прямые (точки) существуют».

Перечислим несколько самых простых задач на построение, которые легко сводятся к задачам I-IV, т.е. главным в решении задач является то, что отыскание искомой прямой или искомой плоскости сводятся к конечному числу задач I-IV.

Задача 1. Провести плоскость через прямую и не лежащую на ней точку, через две пересекающиеся прямые, через две параллельные прямые.

Задача 2. Построить точку пересечения данной прямой и данной плоскости.

Задача 3. Через данную точку, не лежащую на данной прямой провести прямую параллельную данной прямой.

Задача 4. Даны скрещивающиеся прямые, провести через одну из них плоскость параллельную другой.

Задача 5. Даны две скрещивающиеся прямые, провести через каждую из них по плоскости так, чтобы они были параллельны между собой.

Задача 6. Построить плоскость, проходящую через данную точку и параллельную двум данным прямым.

Из сказанного выше следует, что выполнение геометрического построения в пространстве основывается на возможности производить следующие семь элементарных операций.

Для оформления решения задач примем следующие соглашения:

) для обозначения точек будем употреблять большие латинские буквы: A, B, C, D … и т.д.; для обозначения прямых - малые латинские буквы: a, b, c, d, … и т. д.; для обозначения плоскостей - греческие буквы: α, β, γ, …;

) точку A пересечением прямых a и b будем обозначать так: A = a∩b; прямую a - пересечением плоскостей α и β будем обозначать так: a=α∩β;

) если точка A принадлежит плоскости α или прямой a, то вместо слова «принадлежит» будем писать значок : Aα, Aa;

) если прямая a лежит в плоскости α, то будем писать: aα;

5) кроме указанных сокращений будем использовать традиционные: a||b (прямая a параллельна прямой b), aα (прямая a перпендикулярна к плоскости α) и т.д.