Различные приёмы и методы в поиске решения задач рассматривают Г. Д. Балк, М.Б. Балк, В.Г. Болтянский, Я.И. Груднев и другие. Разрабатывая различные методы и приёмы при решении задач они обращают внимание на то, что овладение различными эвристическими приёмами происходит не при изложении готового «отшлифованного» доказательства теоремы или решения задачи, а в процессе поиска доказательства или решения, в процессе самостоятельного открытия новых математических фактов. «Как искать решение? Как догадаться? Такие вопросы постоянно вставали перед учащимися» [3, с.55]. Основное внимание в поиске решения задач уделяется таким методам как анализ, синтез, обобщение, аналогия, интуиция, прогнозирование и перебор [4], в качестве эвристических приёмов рассматриваются такие приёмы как испытание на правдоподобность, обобщение плюс индукция, поиск решения путём предельных случаев, математическое экспериментирование и поиск неизвестных закономерностей, метод малых изменений, аналогия как средство поиска решения задач, введении вспомогательных неизвестных, переход к равносильной задаче, выделение подзадач и т.д. [3].
Говоря об эвристических приёмах при обучении геометрии А.К. Артемев выделяет такие приёмы: равносильного преобразования требования задачи, незавершённых задач, постановки и выполнения произвольного задания, сопоставительного вычисления [2, с.25-26].
Заметим, что перечисленные выше эвристические приёмы особенно эффективны при решении нестандартных задач. Однако вопрос о практическом вооружении учащихся эвристическими приёмами остаётся недостаточно разработанным.
Представители второго направления разрабатывают не только приёмы решения задач, но и приёмы их составления.
Рассматривая составление и решение задач, порождённых данной Е.С. Камин выделяет следующие приёмы составления таких задач: замена части данных исходной задачи другими данными без замены заключения задачи; обобщение данных и искомых; специализация задачи (обратное её обобщению); добавление новых заключений при сохранении данных; обращение задачи [25].
В учебно-методической литературе мало внимания уделяется вопросу воспитания у учащихся критического отношения к содержанию условия задачи. Поэтому особое значение при обучении учащихся анализировать условие и требование задачи имеют исследование И.Я. Кушнир, М.П. Буловацкого, Г.П. Недогарок, предлагающие различные приёмы определения доста-точности и недостаточности условий задач для её решения, а также различные вспомогательные задачи с недостающими и мнимыми данными, и пути их исследования [5, 28, 32].
Различные методы решения задач освещены в работах В.Н. Литвиненко, И.А. Терехова, И.В. Чичаевой [29, 51, 58].
Рассматривая роль метода вспомогательных задач в обучении учащихся решению задач, И.А. Терехов предлагает ученику, испытывающему затруднения при решении задачи, заранее подобранную задачу, в некоторых элементах решения аналогичную основной задаче. Автор выделяет два вида вспомогательных задач: эквивалентные и являющиеся частью основой. При этом, две задачи эквивалентны, если решение одной из них вытекает из решений другой.
На основании опыта преподавания геометрии в средней школе Г.Д. Зайцева предлагает один из возможных путей формирования умений учащихся решать стереометрические задачи. Идея заключается в составлении схемы «разложения» решений задачи на более простые - составляющие задачи. Применение такого разложения при решении ряда стереометрических за-дач даёт возможность учащимся осознать:
. Из решения каких частных задач состоит решение данных задачи.
. Какие составляющие задачи повторяются в «разложениях» разных задач.
. Где метод, результат решения составляющих задач можно использовать в дальнейшем.
Автор отмечает, что «разложение» задач на составляющие помогает учащимся осознанно выделить систему часто повторяющихся составляющих стереометрических задач, которую называет системой опытных задач. Приводится система правил для выбора необходимых опорных задач по решению данной задачи [21].
В исследованиях М.Е. Тимощук [53] по формированию навыков и умений учащихся решать стереометрические задачи основными моментами являются:
. Отбор задач.
. Использование обучающих воздействий, которые повышают познавательную активность учащихся, обеспечивают возможность переноса умений. При отборе задач необходим учёт их объективной и субъективной сложности, соответственные уровню развития учащихся.
В разграничении уровней объективной сложности задачи используются следующие понятия:
. Элементарные простые задачи - решаемые в один-два шага на основании известных теорем, аксиом, определений.
. Элементарные составные задачи - относительно простые по своей фабуле, они являются составляющими сложных задач.
. Сложные задачи первого уровня, которые в результате переформирования исходного требования сравнительно легко сводятся к цепочке элементарных задач.
. Сложные задачи второго уровня - сводятся к элементарным подзадачам (обычно этот процесс вызывает затруднения).
Автор уделяет особое внимание, выделению «ключевой подзадачи» в процессе сведения сложной задачи к элементам.
Для преодоления формализма в усвоении понятий двугранного угла и выработки навыков построения линейных узлов учащимся необходима определённая система задач [46]. Предлагаемые задачи разбиты на четыре группы:
. На доказательство того, что отмеченный на рисунке угол является линейным.
. На выделение линейного угла среди нескольких обозначенных на рисунке углов.
. На построение линейного угла данного двугранного угла.
. Вычислительные задачи.
В процессе решения этих задач учащихся вырабатывают навыки и умения построения линейных углов, двугранных углов, построения изображений пространственных фигур.
В своих исследованиях [44] Г.И. Саранцев отмечает, что в школьных учебниках решение геометрических задач основано на трансформации словесной формулировки задачи в чертёж, а обратная трансформация не используется, что ведет к перекосу в обучении умения решать геометрические задачи. В процессе составления задач на заданных чертежах формируется комплекс действий: преобразования требования задачи, выделение следствий из данных условий, представление фигуры в плане различных понятий и т.д. автор указывает, что в учебно-методической литературе выделяются опорные знания, задачи и конфигурации. Под последними понимаются такие геометрические конфигурации, которые несут основные теоретические положения темы или раздела, могут использоваться для ознакомления с понятиями и теоремами при решении задач. Опорные конфигурации должны являться источником составления задач. Составление задач по чертежу является хорошим средством интеллектуального развития учащихся.
В работе [10] С.Б. Верченко приходит к выводу о том, что планомерная и систематическая реализация разработанной системы упражнений помогает подвести учащихся младших классов к необходимому уровню развития пространственных представлений и подготовить их к изучению систематического курса геометрии, т.к. программа геометрии старших классов в значительной степени опирается на запас наглядных представлений конструктивных навыков, сформированных в IV-V классах. Автор предлагает конкретные методические рекомендации по формированию и развитию пространственных представлений при изучении геометрического материала в курсе математики IV-V классов.
Систематическое использование на уроках стереометрии устных упражнений и проведения устного опроса являются одним из средств повышения эффективности урока [7, 8, 14] и др. они служат для более глубокого и прочного понимания учащимися свойств параллельного проектирования, основных геометрических понятий, теорем аксиом плоскости и т.д. кроме того, устный опрос и устные упражнения способствуют развитию и формированию пространственного воображения учащегося. Однако, они носят логический характер и конструктивный характер, не касаясь решения стереометриических задач на построение.
Таким образом, представители второго направления приводят определённую работу по систематизации задач на основе выявления опорных задач при «разложении» задач на составляющие (Г.Д. Зайцева), элементарных задач, являющихся основой при решении других задач (Я.И. Груденов и др.), отбор задач с учётом их объективной и субъективной сложности (М.Е. Глинощук и др.), определение опорных конфигураций, являющихся источниками составления задач по данным чертежам (Г.Н. Саранцев), составление специальных упражнений для устного опроса (И.Б. Вейцман, В.П. Демидов и др.), направленных на формирование и развитие воображения учащихся на уроках математики.
Рассмотрим теперь исследования, выявляющие необходимые умения, приёмы решения отдельных типов задач.
В исследовании [6] Г.А. Буткин разработал умения, лежащие в основе геометрического доказательства. В качестве основных знаний и умений решения задач на доказательство он предлагает: действия подведения геометрических явлений под понятие; знание систем необходимых и достаточных признаков искомых геометрических понятий, умение развернуть условие, получить систему его следствий, обнаружить за содержащимися в нём понятиями признаки искомого понятия [6, с.190]. Однако не указываются условия и способы выработки у учащихся этих умений.
Рассматривая вопрос о решении геометрических задач на доказательство, А.Т. Кислицина в работе [26] предлагает системы указаний (обучающую и частичную) при решении геометрических задач на доказательство. Автором выделена следующая система общих указаний: «Чтобы решить геометрическую задачу на доказательство необходимо:
− Точно знать, в чём состоит условие, заключение теоремы;
− Заменить теоремы их определениями;
− Расчленить условие и заключение её на составные части;
− Использовать в рассуждениях условие теоремы и даже использовать его, вообще говоря, полностью;
− Преобразовать условие теоремы для того, чтобы легче было обнаружить справедливость её заключения;
− Преобразовать заключение теоремы;
− Из возможных способов решения выбрать такой, который допускает простое решение предложенной задачи»
При этом формирование выявленных общих умений осуществляется на основе обобщения частных умений.
В работе [45] С.Н. Садыхов и О.С. Садыхова рассматривают системы вопросов, предлагаемых учащимися на каждом этапе решения задачи на построение треугольников, направляющих мышление учащихся в процессе решения задач.
Например, на этапе анализа система вопросов имеет вид:
. Есть ли на данном рисунке фигуры (точка, отрезок, угол, окружность и т.д.), которые были частью искомого треугольника?
. Если есть, то, как их можно построить?
. Сколько при этом вершин искомого треугольника уже имеется?
Значение этих указаний при обучении учащихся решению задач велико. Однако эти указания пока остаются недостаточно обобщёнными.
В диссертационном исследовании Б.А. Абремского [1], на основе анализа использованного при решении задачи теоретического материала, выявляются частные приёмы решения планиметрических задач на вычисление. Исследуя полученные системы частных приёмов, автор выделяет общие приёмы решения геометрических задач на вычисление:
. Выявление (актуализация) такой зависимости между алгебраическими объектами задачной ситуации, которая содержит искомое.
. Непосредственное отыскание неизвестного из некоторой зависимости, не содержащей других неизвестных.
. Составление и решение уравнений или системы уравнений и последующее нахождение всех или некоторых неизвестных.
. Выделение вспомогательных задач на отыскание значения одной величины или значения комбинации каких-либо величин.
Однако, с точки зрения деятельностного подхода, в работе рассматривается только операционный состав каждого приёма.
В исследованиях Л.О. Демищевой, М.Б. Воловича, Н.С. Новичковой, И.Ф. Протасова [10, 15, 33, 41] рассматриваются приёмы работы с теоретическим материалом (приёмы работы с понятиями) и применения их при решении задач.
Например, в статье Л.О. Демищевой отмечается, что значительное число учащихся затрудняются составить план решения задачи, раскрыть его ход, даже в том случае, когда или получен правильный ответ, т.е. фактически задача решена. Это говорит о том, что учащиеся не осознают самого процесса получения результата, способа своей деятельности [15, с.15]. В этой же работе приведены приёмы учебной работы учащихся для определения критических точек и для нахождения первообразных функций, выявленные из теоретического материала данной темы.
О.Б. Епилиева, К.А. Загородных, О.К. Одинемадов в своих диссертационных исследованиях [19, 20, 35] рассматривают проблему формирования приёмов учебной деятельности учащихся при обучении решению задач.
О.Б. Епилиева рассматривает проблему формирования приёмов учебной деятельности учащихся на материале уравнений и неравенств. Основу исследования составляет методика формирования обобщённого приёма решения уравнений и неравенств с одной переменной, который получен путём обобщения частных приёмов решения конкретных задач по указанной теме.
В работе отмечено, что обобщение способов деятельности учащихся при решении уравнений и неравенств происходит постепенно. При этом вы-делены следующие этапы процесса обобщения приёмов решения уравнений:
− Решение простейших уравнений данного вида;
− Анализ действий необходимых для решения;
− Вывод алгоритма (формулы, правила) решения и запоминание его;
− Решение несложных уравнений данного вида, не являющихся простейшими; анализ действий, необходимых для их решения;
− Формулировка частного приёма решения;
− Применение полученного частного приёма по образцу, в сходных ситуациях, в легко создаваемых вариациях образца;
− Работа по описанным этапам для следующих видов уравнений согласно программе;
− Сравнение получаемых частных приёмов, выделение общих действий в их составе и формулировка обобщающего приёма решения;
− Применение обобщённого приёма в различных ситуациях, перенос и создание на его основе новых частных приёмов для других видов уравнений.
Проводя работу по этапам процесса обобщения, автор выделяет: обобщённый приём решения уравнения первой степени с одной переменной, обобщённый приём решения задач с помощью уравнений, обобщённый приём решения квадратного уравнения, обобщённый приём решения уравнений (неравенств) первой степени с одной переменной, обобщённый приём решения уравнений (неравенств) второй степени с одной переменной, обобщённый приём решения рациональных (тригонометрических, иррациональных, показательных, логарифмических) уравнений и неравенств. Разработана методика формирования обобщенных приёмов решения уравнений и неравенств.
Разработанная система общих приёмов учебной деятельности учащихся позволяет учителям спланировать свою деятельность в процессе обучения этим приёмам.
В исследовании К.А. Загородных [20] выявлены приёмы учебной деятельности учащихся по решению текстовых задач в IV-V классах. Здесь все адекватны действиям учащихся по решению учебной задачи, выделенным в концепции учебной деятельности.
О.К. Одинамадов на основе анализа задач на тождественные преобразования в курсе алгебры средней школы выявил приёмы деятельности учащихся по решению этих задач экспериментальное обучение показало эффективность этих приёмов при обучении учащихся решению задач на тождественные преобразования [35].
Анализ научно-методической литературы показал,
что в отличие от первого и второго направления, третье направление ещё
недостаточно разработано. Особенно это касается геометрического материала.
§2. Проблема формирования приёмов
учебной деятельности в практике школьного обучения