Материал: Электричество и магнетизм. Пособие по решению задач

26

120 В/м. Определить разность потенциалов между двумя точками, лежащими на одной силовой линии и находящимися на расстоянии r= 1 мм. (Ответ:

= 0,12 В.)

Задача 14. Тонкий стержень согнут в кольцо радиусом R=10 см. Он заряжен с линейной плотностью = 300 нКл/м. Какую работу A надо совершить, чтобы перенести заряд Q= 5 нКл из центра кольца в точку, расположенную на оси кольца на расстоянии a= 20 см от его центра? (Ответ: A=47 мкДж.)

Задача 15. Электрическое поле создано положительным точечным зарядом. Потенциал поля в точке, удаленной от заряда на r= 12 см, равен 24 В. Определить значение и направление градиента потенциала в этой точке. (Ответ: grad =200 В/м, градиент направлен к заряду.)

Тема 1.3. Электроемкость. Конденсаторы

Примеры решения задач.

Задача 1. Найти электроемкость С уединенного металлического шара радиусом R=1 см.

Решение

Электрическая емкость уединенного проводника по определению равна

C q ,

где q - заряд, сообщенный проводнику, - потенциал проводника. Потенциал металлического шара равен потенциалу на его поверхности

поэтому электроемкость металлического шара определяется выражением

C 4 0R .

Принимая во внимание, что электродинамическая постоянная 0 равна 8,85 10-12 Ф/м, и подставляя численное значение для радиуса шара R=0,01м, получаем С=1,11 10-12 Ф =1,11 пФ. (Ответ: C=1,11 пФ)

Задача 2. Два металлических шара радиусами R1=2 см и R2=6 см соединены проводником, емкостью которого можно пренебречь. Шарам сообщен заряд Q=1 нКл. Найти поверхностные плотности 1 и 2 зарядов на шарах.

27

Решение

Обозначим заряд первого шара через q1. Так как суммарный заряд на обоих шарах равен Q, то заряд второго шара будет q2=Q-q1. Так как емкостью соединительного проводника можно пренебречь, то шары можно рассматривать как уединенные, и определять емкости каждого шара по формулам C1=4 0R1 и C2=4 0R2, соответственно. Пользуясь формулой емкости уединенного проводника

Так как шары соединены проводником и представляют собой единый металлический предмет, то их потенциалы равны между собой 1 = 2 или

Решая полученное уравнение относительно q1, находим заряд первого шара

Так как площадь поверхности шара S связана с его радиусом R соотношением S= 4 R2, то поверхностные плотности зарядов шаров будут равны

Задача 3. Определить электроемкость С плоского слюдяного конденсатора, площадь S пластин которого равна 100 см2, а расстояние между ними равно

28

0,1 мм. Диэлектрическая проницаемость слюды = 7,0.

Решение

Электрическая емкость плоского конденсатора определяется по формуле

C 0S , d

где d - расстояние между пластинами, S - площадь пластин, - диэлектрическая проницаемость среды, 0=8,85 10-12 Ф/м - электрическая постоянная. Используя численные значения задачи S= 10-2 м2 и d= 10-4 м, получаем С= 6,2×10-9 Ф.

Ответ: С= 6,2 нФ.

Задача 4. Две концентрические металлические сферы радиусами R1=2 см и R2=2,1 см образуют сферический конденсатор. Определить его электроемкость С, если пространство между сферами заполнено парафином. Диэлектрическая проницаемость парафина = 2,0.

Решение

Электрическая емкость сферического конденсатора определяется по формуле

Электроемкости конденсаторов: C1=0,2 мкФ, C2=0,1 мкФ, C3=0,3 мкФ, C4=0,4 мкФ. Определить электроемкость C батареи конденсаторов.

29

Решение

Конденсаторы C1 и C2 соединены параллельно, поэтому их эквивалентная емкость C равна C1+C2. Аналогично, эквивалентная емкость конденсаторов C3 и C4 равна C =C3+C4. Конденсаторы C и C соединены последовательно и, следовательно, общая емкость батареи конденсаторов может быть определена из условия

1 1 1 .

C C C

Выражая из последнего соотношения C и подставляя в результат C и C , находим окончательное выражение для емкости батареи:

Подставляя численные значения, получаем C =0,21мкФ .

Ответ: C =0,21мкФ.

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 6. Определить электроемкость С металлической сферы радиусом R=2 см, погруженной в воду. Диэлектрическая проницаемость воды =81. (От-

вет: С=180 пФ.)

Задача 7. Шар радиусом R1=6 см заряжен до потенциала 1=300 В, а шар радиусом R2=4 см - до потенциала 2= 500 В. Определить потенциал шаров после того, как их соединили металлическим проводником. Емкостью соединительного проводника пренебречь. (Ответ: = 380 В.)

Задача 8. Между пластинами плоского конденсатора находится плотно прилегающая стеклянная пластинка ( 7,0). Конденсатор заряжен до разности потенциалов U1 100 В . Какова будет разность потенциалов U2 , если вытащить стеклянную пластинку из конденсатора?. (Ответ: U2=700 В)

Задача 9. Расстояние d между пластинами плоского конденсатора равно 1,33 мм, площадь S пластин равна 20 см2. В пространстве между пластинами конденсатора находятся два слоя диэлектриков: слюды толщиной d1= 0,7 мм и эбонита толщиной d2= 0,3 мм. Определить электроемкость С конденсатора. Диэлектрические проницаемости слюды 1 =7,0, эбонита 2 =3,0, воздуха 3 =1,0. (Ответ: С=33,4 пФ.)

Задача 10. На пластинах плоского конденсатора равномерно распределен заряд с поверхностной плотностью 2 Кл/м2. Расстояние d между пластина-

30

ми равно 1 мм. На сколько изменится разность потенциалов на его обкладках при увеличении расстояния d между пластинами до 3мм? (Ответ: = 45В.)

Задача 11. К воздушному конденсатору, заряженному до разности потенциалов U= 600 В и отключенному от источника напряжения, присоединили параллельно второй незаряженный конденсатор таких же размеров и формы, но с диэлектриком из фарфора. Определить диэлектрическую проницаемость фарфора, если после присоединения второго конденсатора разность потенциалов уменьшилась до U1=100 В. (Ответ: = 5,0)

Задача 12. Два конденсатора электроемкостями C1=3 мкф и C2=6 мкф соединены между собой и присоединены к батарее с ЭДС E= 120 В. Определить заряды Q1 и Q2 конденсаторов и разности потенциалов U1 и U2 между их обкладками, если конденсаторы соединены : 1) параллельно; 2) последовательно.

(Ответ: 1) Q1=360 мкКл, Q2=720 мкКл, U1=U2=120 В; 2) Q1=Q2=240 мкКл, U1=80 В, U2=40 В.)

Задача 13. Конденсатор электроемкостью C1=0,2 мкФ был заряжен до разности потенциалов U1=320 В. После того, как его соединили параллельно со вторым конденсатором, заряженным до разности потенциалов U2=450 В, напряжение U на нем стало 400 В. Вычислить емкость C2 второго конденсатора.

(Ответ: C2= 0,32 мкФ.)

Задача 14. Три одинаковых плоских конденсатора соединены последовательно. Электроемкость C такой батареи конденсаторов равна 89 пФ. Площадь S каждой пластины равна 100 см2 . Диэлектрик - стекло с диэлектрической проницаемостью = 7,0. Какова толщина d стекла? (Ответ: d= 2,32 мм.)

Задача 15. Конденсаторы электроемкостями C1=10 нФ, C2=40 нФ, C3= 20 нФ и C4= 30 нФ соединены так, как это показано на рисунке.

C1 C2

C3 C4

Определить электроемкость C батареи. (Ответ: C=20 пФ.)

Тема 1.4. Диэлектрики в электрическом поле. Энергия электрического поля.

Примеры решения задач.

Задача 1. Вычислить электрический момент p диполя, если его заряд