Материал: Электричество и магнетизм. Пособие по решению задач
21
проведем через эти точки эквипотенциальные поверхности I и II. Эти поверхности будут плоскостями, так как поле между двумя равномерно заряженными бесконечными параллельными плоскостями однородно. Для такого поля справедливо соотношение
1- 2=El, |
(2) |
где E - напряженность поля, l - расстояние между эквипотенциальными поверхностями.
Напряженность поля между параллельными бесконечными разноименно заряженными плоскостями есть E= / 0. Подставив это выражение в формулу (2) и, затем, полученное выражение в формулу (1), получим
A= Qlσ =13,6 мкДж. |
|
ε0 |
|
Второй способ. Так как поле однородно, то сила, действующая на заряд |
|
Q, при его перемещении постоянна. Поэтому, работу перемещения заряда из |
|
точки 1 в точку 2 можно подсчитать по формуле |
|
A=F r cos , |
(3) |
где F - сила, действующая на заряд, r – модуль вектора перемещения заряда из точки 1 в точку 2, - угол между направлением перемещения и силы. Так как
F =QE=Q( / 0), а r cos = l, то
A= Ql =13,6 мкДж.
0
Видно, что оба решения приводят к одному и тому же результату.
Ответ: A = 13,6 мкДж.
Задача 3. По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности радиусом R, равномерно распределен заряд с линейной плотностью = 10 нКл/м. Определить напряженность E и потенциал электрического поля, создаваемого таким распределенным зарядом в точке «0» , совпадающей с центром кривизны дуги. Длина нити l составляет 1/3 длины окружности и равна 15 см.
Решение
Выберем оси координат так, чтобы начало координат совпадало с центром кривизны дуги, а ось y была расположена симметрично относительно концов дуги, как показано на рисунке. На нити выделим элемент длины dl. Заряд dQ= dl, находящийся на выделенном участке, можно считать точечным. Определим напряженность электрического поля в точке «0». Для этого найдем
22
сначала напряженность dE поля, создаваемого зарядом dQ |
|
||||||||
|
dEy |
dE |
|
|
|
dE= |
τdl |
r , |
|
|
|
|
|
4πε r3 |
|||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||
|
0 |
|
dEx где r - радиус-вектор, направленный от элемен- |
||||||
|
|
|
|
та dl к точке, напряженность в которой вычис- |
|||||
|
|
r |
|
ляется. Выразим вектор dE через его проекции |
|||||
d |
|
|
|||||||
dEx |
и dEy на оси координат: dE = idEx + jdEy, |
||||||||
|
|
|
|
||||||
dl |
|
|
|
где i и j - единичные векторы направлений (ор- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
ты). |
|
|
|
|
|
Напряженность поля E найдем интегрированием |
|
||||||||
|
|
|
|
E dE = i dEx + j dEy . |
|
||||
|
|
|
|
l |
l |
l |
|
|
|
Интегрирование ведется вдоль дуги длины l. В силу симметрии интеграл dEx
|
|
|
|
|
|
l |
равен нулю. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E = j dEy , |
(1) |
|
|
|
|
|
|
l |
|
где dEy = dE cos = |
dl |
|
dl=Rd , то |
|||
|
|
|
cos . Так как r=R=const и |
|||
4 |
0 |
r2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos d |
|
|
|
|
|
dEy= |
4 0R . |
|
Подставим найденное выражение для dEy в (1). Приняв во внимание симметричное расположение дуги относительно оси OY, возьмем пределы интегрирования от 0 до /3 и удвоим результат. Тогда получаем
|
2 |
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
cos d j |
|
|
|
||||
E=j |
|
|
|
|
|
|
sin 0 |
. |
|
4 |
|
R |
2 |
|
|
||||
|
0 |
0 |
0 |
R |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставив указанные пределы и выразив R через длину дуги из соотношения 3l= 2 R, получим
E = j 
3 .
6 0l
Из этой формулы видно, что вектор E совпадает с положительным направлением оси OY . Подставив значение и l в последнюю формулу и сделав вычисления, найдем E = 2,18 кВ/м.
Определим потенциал электрического поля в точке «0». Для этого сначала найдем потенциал d , создаваемый точечным зарядом dQ в точке «0»
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
d = |
|
dl |
. |
|
|
|||
|
4 0r |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Заменим r на R и, учитывая, что l=2 R/3, произведем интегрирование |
|||||||||
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
dl |
|
|
=188 В. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
4 |
0 |
R |
|
6 |
0 |
||||
|
|
|
|
||||||
0
Ответ: 188 В.
Задача 4. Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом R= 1 см, равномерно заряженным с линейной плотностью = 20 нКл/м. Определить разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся на расстояниях a1=0,5 см и a2=2 см от поверхности цилиндра в средней его части.
Решение
Взаимное расположение точек поля и заряженного цилиндра показано на рисунке. Для определения разности потенциалов воспользуемся известным соотношением между напряженностью поля и из-
|
R |
менением потенциала: |
E grad . |
||
|
1 |
Для поля с осевой симметрией, каким явля- |
|||
|
ется поле цилиндра, это соотношение можно за- |
||||
|
a1 |
||||
|
|
|
|||
|
|
2 писать в виде |
|
|
|
|
a2 |
E d |
или |
d = -Edr . |
|
|
|
dr |
|
|
|
|
Интегрируя последнее выражение, найдем разность потенциалов двух то- |
||||
чек, отстоящих на r1 и r2 |
от оси цилиндра: |
|
|
||
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
2 1 Edr . |
(1) |
||
|
|
r1 |
|
|
|
Так как цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней части, то для выражения напряженности поля, создаваемого заряженным цилиндром, можно воспользоваться формулой
E |
|
|
|
. |
|
2 0r |
||
Подставив это выражение для E в равенство (1) и интегрируя, получим
|
|
|
r2 |
dr |
|
|
|
|
r |
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
ln |
2 |
2 |
0 |
r |
2 |
0 |
r |
||||
|
|
r1 |
|
|
|
|
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
или |
2 |
|
|
ln |
r2 |
. Представив r1 и r2 как r1=R+a1 и r2=R+a2, получим |
|
|
|||||
1 |
|
2 0 |
|
r1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 2 250 В .
Ответ: 1 2 250 В .
Задача 5. Электрическое поле создано тонким стержнем, несущим равномерно распределенный по длине заряд = 0,1 мкКл/м. Определить потенциалполя в точке, удаленной от концов стержня на расстояние, равное длине стержня.
Решение |
|
|
|
|
|
|
Геометрия задачи показана на рисунке. Заряд, находящийся на стержне, |
||||||
нельзя считать точечным, поэтому нельзя применить для вычисления потенци- |
||||||
A |
|
|
ала формулу |
|
|
|
d |
|
|
|
Q |
, |
(1) |
|
4 0r |
|||||
|
|
|
|
|||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
справедливую только для точечных зарядов. Но, |
||||
|
1 |
|
||||
|
если разбить стержень на элементарные отрезки |
|||||
|
|
|
||||
|
|
|
dl, то заряд dQ dl , находящийся на каждом из |
|||
них, можно рассматривать как точечный и тогда формула (1) будет справедли- |
||||||
ва. Применив эту формулу, получим |
|
|
|
|||
d |
dl |
, |
(2) |
4 0r |
где r - расстояние от точки, в которой определяется потенциал, до элемента стержня. Из рисунка следует, что dlcos =rd . Подставив dl из этого выражения в формулу (2), находим
d |
d |
|
|
. |
|
4 0 cos |
||
Интегрируя последнее выражение в пределах от 1 до 2, получим формулу для потенциала, создаваемого всем зарядом, распределенным на стержне
2 |
d |
||||
|
|||||
|
|
|
. |
||
4 |
0 |
cos |
|||
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
||
В силу симметрии расположения точки A относительно концов стержня, имеем 1= 2= /6 и, поэтому, пределы интегрирования возьмём от 0 до /6, а результат удвоим
25
|
2 |
|
1 |
d |
|
|
|
|
|
|
. |
4 |
0 |
cos |
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проинтегрировав и подставив пределы интегрирования, получим ответ
|
2 |
|
|
) ln( tg |
|
|
|
2 |
|
|
) = 990 В. |
|
ln( tg |
|
|
) |
|
ln( tg |
|
||||
4 0 |
|
|
4 0 |
|
|||||||
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
3 |
|
Ответ: = 990 В.
Задачи для самостоятельного решения.
Задача 6. При перемещении заряда Q=20 нКл между двумя точками поля, внешними силами была совершена работа A=4 мкДж. Определить работу A сил поля и разность потенциалов этих точек поля. (Ответ: A= -4 мкДж,
= 200 В.)
Задача 7. Определить потенциал электрического поля в точке, удаленной от зарядов Q1= -0,2 мкКл и Q2=0,5 мкКл, соответственно, на r1=15 см и r2=25 см. (Ответ: = 6 кВ.)
Задача 8. По тонкому кольцу радиусом R=10 см равномерно распределен заряд с линейной плотностью =10 нКл/м. Определить потенциал в точке, лежащей на оси кольца на расстоянии a=5 см от центра. (Ответ: = 505 В.)
Задача 9. На отрезке тонкого прямого проводника равномерно распределен заряд с линейной плотностью = 10 нКл/м. Вычислить потенциал , создаваемый этим зарядом в точке, расположенной на оси проводника и удаленной от ближайшего конца отрезка на расстояние, равное длине этого отрезка. (От-
вет: = 62,4 В.)
Задача 10. Тонкие стержни образуют квадрат со стороной длиной a. Стержни заряжены с линейной плотностью = 1,33 нКл/м. Найти потенциал в центре квадрата. (Ответ: = 84,7 В.)
Задача 11. Две бесконечные параллельные плоскости находятся на расстоянии d= 0,5 см друг от друга. На плоскостях равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями 1= 0,2 мкКл/м2 и 2= -0,3 мкКл/м2. Определить разность потенциалов между плоскостями. (Ответ: = 141 В.)
Задача 12. Сто одинаковых капель ртути, заряженных до потенциала1= 20 В каждая, сливаются в одну большую каплю. Каков потенциал образовавшейся капли? (Ответ: = 432 В.)
Задача 13. Напряженность E однородного электрического поля равна