Материал: Электричество и магнетизм. Пособие по решению задач
56
усом R=10 cм и шагом h= 60 cм. Определить кинетическую энергию W прото-
на. (Ответ: W= 586,2 фДж.)
Задача 12. Протон, пройдя ускоряющую разность потенциалов U= 800 В, влетает в однородные, скрещенные под прямым углом магнитное (B=50 мТл ) и электрическое поля. Определить напряженность Е электрического поля, если протон движется в скрещенных полях прямолинейно. (Ответ: E= 19,58 кВ/м.)
Задача 13. Протон и электрон, двигаясь с одинаковой скоростью, попадают в однородное магнитное поле. Во сколько раз радиус кривизны траектории протона R1 больше радиуса кривизны траектории электрона R2? (Ответ:
R1/R2=mp/me= 1836.)
Задача 14. Протон и электрон, ускоренные одинаковой разностью потенциалов, влетают в однородное магнитное поле. Во сколько раз радиус кривизны траектории протона R1 больше радиуса кривизны траектории электрона R2? (Ответ: R1/R2 =(mp/me )1/2 =42,8.)
Задача 15. Магнитное поле напряженностью H= 8 103 А/м и электрическое поле напряженностью E= 10 В/см направлены одинаково. Электрон влетает в такое электромагнитное поле со скоростью v= 105 м/с. Найти нормальное an , тангенциальное a и полное a ускорения электрона. Задачу решить для случаев: 1) скорость электрона направлена параллельно силовым линиям; 2) скорость электрона направлена перпендикулярно силовым линиям полей. (От-
вет: |
1) |
a a |
eE m |
= 1,76 1014 м/с2; |
2) |
a a |
n |
(e m ) |
(vB)2 E2 |
|
|
|
|
e |
|
|
|
e |
|
|
2,5 1014 м/с2.)
Тема 2.4. Электромагнитная индукция.
Примеры решения задач.
Задача 1. Прямой провод длиной l=40 см движется в однородном магнитном поле со скоростью v=5 м/с перпендикулярно линиям индукции. Разность потенциалов между концами провода U=0,6 В. Вычислить индукцию магнитного поля B.
Решение
Разность потенциалов между концами провода, возникающая при его движении в магнитном поле, может быть определена из соотношения
U ddt ,
где - магнитный поток через площадку, описываемую проводником в маг-
57
нитном поле. Поскольку проводник расположен перпендикулярно линиям магнитной индукции и движется перпендикулярно им, изменение магнитного потока может быть определено как
d BdS Bldx.
Тогда искомая разность потенциалов может быть определена как
U d Bl dx Blv . dt dt
Откуда B U
lv .
Ответ: B=0,3 Тл.
Задача 2. В однородном магнитном поле с индукцией B= 1 Тл находится прямой провод длиной l= 20 см, концы которого замкнуты вне поля. Сопротивление R всей цепи равно 0,1 Ом. Найти силу F, которую нужно приложить к проводу, чтобы перемещать его перпендикулярно линиям индукции со скоростью v= 2,5 м/с.
Решение
Выберем систему координат как показано на рисунке. Согласно закону
электромагнитной индукции, для ЭДС индукции имеем выражение Ei=-d /dt, |
|||
где изменение магнитного потока d определяется |
y |
|
|
выражением d =BdS=Bldx=Blvdt. Тогда, для ЭДС |
|
|
|
l |
|
B |
|
|
|
||
индукции получаем Ei=-Blv. Из закона Ома для за- FА |
|
F |
|
мкнутой цепи находим текущий по проводу ток |
|
|
|
I=Ei/R=-Blv/R. (знак минус означает, что ток течет |
|
|
v |
I |
|
|
|
против положительного направления оси y). При |
|
|
|
|
0 |
dx x |
|
движении проводника с током на него действует сила |
|
||
|
|
|
|
Ампера dFA=I dl,B . Отсюда следует, что dFA=iIBdl. Тогда, интегрируя по длине провода, получаем FA=-iIBl. Условие равномерного движения провода имеет вид F+FA=0. Отсюда для искомой силы получаем выражение F=iIBl. Следовательно, величина силы рассчитывается по формуле F=Ibl=v(lB)2/R=
1 Н.
Ответ: F= 1 Н.
Задача 3. Рамка площадью S= 200 см2 равномерно вращается с частотой n= 10 с-1 относительно оси, лежащей в плоскости рамки и перпендикулярно линиям индукции однородного магнитного поля В= 0,2 Тл. Каково среднее значение ЭДС индукции <Ei> за время, в течение которого магнитный поток, прони-
58
зывающий рамку, изменяется от нуля до максимального значения.
Решение
Пусть рамка вращается относительно оси О-О, а магнитное поле B про-
низывает рамку и направлено сверху вниз, как показано на рисунке. Согласно |
||
закону электромагнитной индукции, ЭДС индук- |
|
B |
ции дается выражением |
|
|
|
O |
|
Ei= -d /dt, |
|
|
|
|
|
где =BS=BScos , ( - угол между направлением |
|
|
магнитного поля B и направлением вектора S, пер- |
O |
S |
|
||
пендикулярного к плоскости рамки). |
|
|
Тогда, для ЭДС индукции получаем формулу Ei=BSsin (d /dt). Отсюда вытекает, что Edt=BSsin d . Интегрируя это уравнение, находим
T 4 |
0 |
Eidt BS |
sin d . |
0 |
2 |
С учетом полученного соотношения, для среднего значения ЭДС индукции имеем окончательное выражение
|
4 |
T 4 |
4BS |
0 sin d 4nBS 0,16 В. |
||
<Ei>= |
|
E dt |
||||
T |
T |
|||||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
Здесь знак минус определяет направление индукционного тока.
Ответ: <Ei> =0,16 В.
Задача 4. С помощью реостата равномерно увеличивают силу тока в катушке на I =0,1 А в течение 1 с. Индуктивность L катушки равна 0,01 Гн. Найти среднее значение ЭДС самоиндукции <Es>.
Решение
Среднее значение ЭДС самоиндукции определяется выражением
t
<Es> = 1t 0 Esdt .
ЭДС самоиндукции связана с током, протекающим через катушку, выражением
Es = - L dIdt .
Из этого выражения следует, что Esdt= -LdI. Интегрируя это соотношение, для
59
среднего значения ЭДС самоиндукции получаем выражение:
|
L |
I |
L I |
|
|
<Es>= |
dI |
= -1 мВ. |
|||
t |
t |
||||
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
Ответ: <Es>= -1 мВ.
Задача 5. Вычислить взаимную индуктивность длинного прямого провода и прямоугольной рамки со сторонами a и b. Рамка и провод лежат в одной плоскости, причем ближайшая к проводу сторона рамки длиной b параллельна проводу и отстоит от него на расстояние l.
Решение
Пусть рамка и провод расположены в плоскости XY, как показано на рисунке. Пронизывающий рамку поток магнитного поля , созданного протекающим по прямому проводу током I, связан с током выражением =L12I, где
L12 - коэффициент взаимной индуктивности рамки |
Y |
|
a |
|
и прямого провода. Следовательно, L12= /I. |
|
|||
|
|
|
||
Найдем поток , пронизывающий рамку. Поток |
I |
|
b |
|
через участок рамки шириной dx по определению |
|
|
|
|
0 2I |
|
|
|
|
равен d =BdS=Bbdx, где B(x)= 4 x |
- индукция |
O |
l |
x |
магнитного поля, созданного прямым током I, на расстоянии x от провода.
После интегрирования по всей ширине рамки получаем выражение для полного потока через рамку
|
l a |
|
0 |
|
l a dx |
|
|
|
Ib |
|
|
a |
||
= |
Bbdx |
|
2Ib |
|
|
|
|
0 |
|
ln 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
l |
4 |
|
l |
x |
|
2 |
|
|
l |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, искомый коэффициент взаимной индуктивности рамки и провода выражается формулой
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
L12 = |
0 |
ln 1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
l |
|
|
b |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
Ответ: L12 = |
0 |
ln 1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения.
Задача 6. В однородном магнитном поле с индукцией В= 0,4 Тл в плос-
60
кости, перпендикулярной линиям индукции поля, вращается стержень длиной l= 10 см. Ось вращения проходит через один из концов стержня. Определить разность потенциалов U на концах стержня при частоте вращения n= 16 с-1. (Ответ: U = 201 мВ.)
Задача 7. В однородном магнитном поле с индукцией В= 0,35 Тл равномерно с частотой n= 480 мин-1 вращается рамка, содержащая N= 500 витков площадью S= 50 см2. Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям индукции. Определить максимальную ЭДС индукции Ei max , возникающую в рамке. (Ответ: Ei max= 44 В.)
Задача 8. Рамка площадью S=100 см2 содержит N=103 витков провода сопротивлением R1=12 Ом. К концам обмотки подключено внешнее сопротивление R2=20 Ом. Рамка равномерно вращается в однородном магнитном поле (B=0,1 Тл) с частотой n=8 c-1. Определить максимальную мощность Pmax переменного тока в цепи. (Ответ: Pmax= 79 Вт)
Задача 9. Проволочный виток радиуса r=4 см с сопротивлением R=0,01 Ом находится в однородном магнитном поле с индукцией B=0,04 Тл. Плоскость рамки составляет угол = 300 с линиями индукции поля. Какое количество электричества Q протечет по витку, если магнитное поле исчезнет?
(Ответ: Q=10 мКл.)
Задача 10. В проволочное кольцо, присоединенное к баллистическому гальванометру, вставили прямой магнит. По цепи протекло количество электричества Q= 10 мкКл. Определить магнитный поток , пересеченный коль-
цом, если сопротивление |
R цепи |
гальванометра |
равно 30 Ом. (Ответ: |
= 0,3 мВб.) |
|
|
|
Задача 11. Рамка из |
провода |
сопротивлением |
R=0,01 Ом равномерно |
вращается в однородном магнитном поле с индукцией В= 0,05 Тл. Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярно линиям индукции. Площадь рамки S= 100 см2. Найти, какое количество электричества Q протечет через рамку за время поворота ее на угол = 30 в следующих трех случаях: 1) от
0=0 до 1=30 ; 2) от 1 до 2=60 ; 3) от 2 до 3=90 . (Ответ: Q1= 25 мКл, Q2=18,3 мКл, Q3= 7 мКл.)
Задача 12. Тонкий медный провод массой m= 1 г согнут в виде квадрата, и концы его замкнуты. Квадрат помещен в однородное магнитное поле (В= 0,1 Тл) так, что его плоскость перпендикулярна линиям индукции поля. Определить количество электричества Q, которое протечет по проводнику, если квадрат, потянув за противоположные вершины, вытянуть в линию. (Ответ:
Q= 41 мКл.)