Материал: Электричество и магнетизм. Пособие по решению задач

51

Какую работу нужно совершить, чтобы повернуть виток вокруг диаметра на 900, если ток в витке равен 8 А? (Ответ: A=2 10-3 Дж.)

Задача 14. По кольцу, сделанному из тонкого гибкого провода радиусом R= 10 см, течет ток I= 100 А. Перпендикулярно плоскости кольца возбуждено внешнее магнитное поле с индукцией B= 0,1 Тл, по направлению совпадающее с направлением собственного магнитного поля кольца. Определить работу A внешних сил, которые, действуя на провод, деформировали его и придали ему форму квадрата. Сила тока при этом поддерживалась неизменной. Работой против упругих сил пренебречь. (Ответ: A= 67,5 мДж.)

Задача 15. По проводу, согнутому в виде квадрата со стороной a, равной 10 см, течет ток I=20 А, сила которого поддерживается неизменной. Плоскость квадрата составляет угол = 200 с линиями индукции внешнего однородного магнитного поля (B=0,1 Тл). Вычислить работу A, которую нужно совершить для того, чтобы удалить провод за пределы поля. (Ответ: A= 6,84 мДж.)

Тема 2.3. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном поле.

Примеры решения задач.

Задача 1. Электрон влетел в плоский конденсатор, находясь на одинаковом расстоянии от каждой пластины и имея скорость v0=10 Мм/с, направленную параллельно пластинам. Расстояние между пластинами равно d= 10 см. Какую наименьшую разность потенциалов U нужно приложить к пластинам, чтобы электрон не вылетел из конденсатора?

Решение

По условию задачи скорость электрона много меньше скорости света

стин. В положительном направлении оси x на электрон действует сила F=eE=eU/d, которая сообщает ему ускорение a=F/m=eU/md. Здесь e и m обозначают, соответственно, элементарный заряд и массу электрона. Чтобы по-

52

пасть на край пластины конденсатора, электрон за время t должен сместиться вдоль оси x на расстояние d/2. Согласно закону равноускоренного движения d/2=at2/2. Подставляя сюда выражения для t и a, получаем следующее соотношение

d= eUl2 . mdv02

Поэтому, для искомой минимальной разности потенциалов получаем формулу:

U= md 2v02 =22,7 В el 2

Ответ: U=22,7 В.

Задача 2. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов U=600 В, влетел в однородное магнитное поле с индукцией B= 0,3 Тл и начал двигаться по окружности. Вычислить ее радиус R.

Решение

Чтобы частица двигалась по окружности, на нее должна действовать центростремительная сила, роль которой в данной задаче играет сила Лоренца. Следовательно, второй закон Ньютона, описывающий движение частицы, следует записать в виде

Отсюда для радиуса окружности получаем выражение R= mPv/eB. Чтобы найти входящую в последнее выражение скорость, учтем, что магнитное поле не совершает работы над двигающейся в нем заряженной частицей. Поэтому, кинетическая энергия, полученная протоном при прохождении ускоряющей разности потенциалов U, будет сохраняться и при дальнейшем его движении в магнитном поле. Закон сохранения энергии записывается в виде

eU mp v2 2 .

Следовательно, mpv 2mpeU . Подставляя это соотношение в формулу (1),

получаем окончательное выражение для радиуса искомой окружности:

Ответ: R= 11,8 мм.

Задача 3. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией

53

B=9 мТл по винтовой линии, радиус которой равен R= 1 см и шаг h= 7,8 см. Определить период T обращения электрона и его скорость v.

Решение

Траектория движения электрона схематически показана на рисунке. Она представляет собой результат двух движений: вращения по окружности под действием силы Лоренца в плоскости, перпендикуляр-

m v2 ev B e .

R

Отсюда получаем выражение для компоненты скорости вращения электрона по

С учетом полученных выражений, для полной скорости получаем следующую формулу

Задача 4. Протон, ускоренный разностью потенциалов U= 500 кВ, пролетает поперечное однородное магнитное поле с индукцией B=0,51 Тл. Толщина области с полем d= 10 см. Найти угол отклонения протона от первоначального направления движения.

54

Решение

Пусть область магнитного поля имеет толщину d вдоль оси x и скорость протона v при входе в область поля также направлена вдоль оси x, как показано на рисунке. Траектория движения протона в области магнитного поля представляет собой дугу окружности, вследствие чего вектор скорости протона на выходе из поля отклонится на угол от первоначального направ-

ления. При пролете частицей с зарядом e ускоряющей разности потенциалов U, над ней была совершена работа eU. Эта работа пошла на сообщение частице кине-

тической энергии. Следовательно, из закона сохранения энергии следует, что eU=mpv2/2. Отсюда для модуля скорости протона получаем выражение v=(2eU/mp)1/2.

При движении частицы в области с магнитным полем на нее действует сила Лоренца Fл, которая играет роль центростремительной силы. Следовательно, второй закон Ньютона можно записать в виде: mpv2/R.=evB. Тогда, для радиуса дуги окружности, описываемой протоном, получаем выражение R=mpv/eB. Напомним, что так как магнитное поле не совершает работы, то величина модуля скорости протона не изменяется при пролете области с магнитным полем. Из рисунка видно, что

Следовательно, для искомого угла окончательно получаем

= arcsin(dB(e/2mpU)1/2)=300.

Ответ: = 300.

Задача 5. Перпендикулярно магнитному полю с индукцией B=0,1 Тл приложено электрическое поле напряженностью E=100 кВ/м. Перпендикулярно обоим полям движется, не отклоняясь от прямолинейной траектории, заряженная частица. Вычислить скорость v частицы.

Решение

Взаимная ориентация векторов магнитного B и электрического E полей, а также вектора скорости частицы v показана на рисунке. При движении в области полей частицы, имеющей электрический заряд q, на нее действуют две силы: сила Лоренца Fл со стороны магнитного поля и сила Кулона Fэл. со стороны электростатического поля. Из условия задачи следует, что ускорение частицы

55

равно нулю. Это означает, что сумма всех сил, действующих на частицу, также равна нулю: Fл+Fэл=0. В явном виде это уравнение выглядит как

q v,B] + qE = 0.

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 6. Электрон с начальной скоростью v0=3 Мм/с влетел в однородное электрическое поле напряженностью Е=150 В/м. Вектор начальной скорости электрона перпендикулярен линиям напряженности электрического поля. Найти: 1) силу F, действующую на электрон; 2) ускорение а, приобретаемое

электроном; 3) скорость электрона через время t=0,1 мкс. (Ответ:

F= 2,4 10 Н; a= 2,63 1013 м/с2; v= 3,99 Мм/с.)

Задача 7. Электрон влетел в пространство между пластинами плоского конденсатора со скоростью v0= 10 Мм/с, направленной параллельно пластинам. На сколько приблизится электрон к положительно заряженной пластине за время движения внутри конденсатора (поле считать однородным), если расстояние d между пластинами равно 16 мм, разность потенциалов U= 30 В и длина l пластин равна 6 см? (Ответ: 5,94 мм.)

Задача 8. Электрон влетел в плоский конденсатор, имея скорость v0= 10 Мм/с, направленную параллельно пластинам. В момент вылета из конденсатора направление скорости электрона составило угол = 35 с первоначальным направлением скорости. Определить разность потенциалов U между пластинами (поле считать однородным), если длина l пластин равна 10 см и расстояние d между пластинами равно 2 см. (Ответ: U= 79,6 В.)

Задача 9. Определить силу Лоренца F, действующую на электрон, влетевший со скоростью v= 4 Мм/с в однородное магнитное поле под углом= 300 к линиям индукции. Магнитная индукция B поля равна 0,2 Тл. (Ответ:

F= 64 фН.)

Задача 10. Вычислить радиус R дуги окружности, которую описывает протон в магнитном поле с индукцией B=15 мТл, если скорость v протона рав-

на 2 Мм/с. (Ответ: R= 1,39 м )

Задача 11. В однородном магнитном поле с индукцией B=2 Тл движется протон. Траектория его движения представляет собой винтовую линию с ради-