Материал: Электричество и магнетизм. Пособие по решению задач

61

Задача 13. Индуктивность L катушки равна 2 мГн. Ток частотой f= 50 Гц, протекающий по катушке, изменяется по синусоидальному закону. Определить среднюю ЭДС самоиндукции <Es>, возникающую за интервал времени t, в течение которого ток в катушке изменяется от минимального до максимального значения. Амплитудное значение силы тока I0= 10 А. (Ответ: <Es>=4 В.)

Задача 14. Индуктивность L соленоида длиной l= 1 м, намотанного в один слой на немагнитный каркас, равна 1,6 мГн. Площадь S сечения соленоида равна 20 см2. Определить число n витков на каждом сантиметре длины соленоида. (Ответ: n= 8 см-1.)

Задача 15. Две катушки расположены на небольшом расстоянии одна от другой. Когда сила тока в первой катушке изменяется с быстротой I/ t=5 А/с, во второй катушке возникает ЭДС индукции Ei= 0,1 В. Определить коэффициент L12 взаимной индукции катушек. (Ответ: L12= 20 мГн.)

Тема 2.5. Энергия магнитного поля. Электромагнитные колебания.

Примеры решения задач.

Задача 1. Конденсатор, емкость которого C= 500 пФ, соединен параллельно с катушкой индуктивности длиной l= 40 см и площадью сечения S, равной 5 см2. Катушка содержит N= 1000 витков. Сердечник немагнитный. Найти период T колебаний.

Решение

Период T находим, используя формулу Томсона T 2πLC , где L - индуктивность катушки. Индуктивность катушки (соленоида) равна L= 0 n2lS, где n - число витков на единицу длины обмотки, то есть n=N/l. Так как по условию задачи сердечник немагнитный, то =1. В итоге, имеем

Подставляя численные значения, получаем T= 5,57 мкс.

Ответ: Т= 5,57 мкс.

Задача 2. Изменение со временем разности потенциалов на обкладках конденсатора в колебательном контуре имеет вид: U=50 cos(104πt) (значения всех величин указаны в СИ). Емкость конденсатора равна C=0,1 мкФ. Найти период T колебаний, индуктивность L контура, и длину волны , соответствующую этому контуру.

62

Решение

В колебательном контуре без затухания напряжение на конденсаторе и ток в цепи изменяются по гармоническому закону. Если время отсчитывать от момента, когда напряжение на конденсаторе максимально, то можно записать U=U0cos t, где U0 - амплитуда, - круговая частота. Из сравнения этого вы-

ражения с зависимостью, приведенной в условии задачи, получаем 104 . Так как круговая частота и период связаны соотношением T=2π /ω, то, после подстановки чисел, получаем T= 2 10-4 с. Индуктивность контура L найдем, используя формулу Томсона T 2 LC , откуда L= T2/4π2C. Длину волны, соответствующую найденному периоду, находим из выражения cT, где c - скорость света. Подставляя численные значения, находим L = 0,01 Гн,

= 3 108 2 10-4= 6,104 м.

Ответ: T= 2 10-4 с, L= 0,01 Гн, = 60 км.

Задача 3. Соленоид длиной l= 50 см и площадью поперечного сечения S= 2 см2 имеет индуктивность L= 2 10 7 Гн. При какой силе тока объемная плотность энергии магнитного поля w внутри соленоида равна 10-3 Дж/м3?

Решение

Полная энергия магнитного поля контура дается выражением:

W LI22 ,

где L - индуктивность соленоида, I - ток, протекающий по контуру. Объемная плотность энергии поля по определению равна

w WV .

Здесь V - объем пространства внутри контура. Объем пространства, заключенного внутри соленоида, равен V=Sl. Следовательно, для объемной плотности энергии имеем соотношение:

w = 1 LI 2 . 2 Sl

Отсюда получаем окончательное выражение для искомой силы тока

Ответ: I= 1 А.

63

Задача 4. Обмотка тороида с немагнитным сердечником имеет n= 10 витков на каждый сантиметр длины. Определить плотность энергии w поля, если по обмотке течет ток I= 16 А.

Решение

Объемная плотность энергии однородного магнитного поля дается выражением

w= B2 . 2 0

Индукция магнитного поля тороида находится как B= 0 nI. Тогда, для искомой плотности энергии поля получаем следующее выражение

w= 0 n2I2/2 =161,3 Дж/м3.

Здесь учтено, что т. к. сердечник немагнитный, то = 1.

Ответ: w= 161,3 Дж/м3.

Задача 5. На тор из магнетика намотано N= 500 витков провода. Найти энергию магнитного поля, если при токе I= 2 А магнитный поток через сечение тора равен = 1 мВб.

Решение

Проводник с индуктивностью L, по которому протекает ток I, обладает энергией W= LI2/2, которая локализована в возбуждаемом током магнитном поле. Полный магнитный поток через контур, то есть потокосцепление, создаваемый протекающим по нему током, равен =LI, где =N . Следовательно, LI= N . Отсюда находим, что L= N /I. Тогда, для искомой энергии магнитного поля окончательно получаем выражение

64

0,1 мВб. Вычислить энергию W магнитного поля соленоида. (Ответ:

W= 50 мДж.)

Задача 8. Катушка индуктивностью L= 1 мкГн и воздушный конденсатор, состоящий из двух круглых пластин диаметром D=20 см каждая, соединены параллельно. Расстояние d между пластинами равно 1 см. Определить период T колебаний. (Ответ: T = 33,2 нс.)

Задача 9. Колебательный контур, состоящий из воздушного конденсатора с двумя пластинами площадью S=100 см2 каждая и катушки с индуктивностью L= 1 мкГн, резонирует на волну длиной = 10 м. Определить расстояние d между пластинами конденсатора. (Ответ: d=3,14 мм.)

Задача 10. Уравнение изменения со временем тока в колебательном контуре имеет вид I= -0,02sin(400 t) (значения всех величин указаны в СИ). Индуктивность контура равна L= 1 Гн. Найти период T колебаний, емкость C контура, максимальную энергию Wм магнитного поля и максимальную энергию Wэл электрического поля. (Ответ: T= 5 мс; C= 0,63 мкФ; Wм= 0,2 мДж;

Wэл= 0,2 мДж.)

Задача 11. Найти отношение энергии Wм/Wэл магнитного поля колебательного контура Wм к энергии его электрического поля Wэл для момента времени t= T/8, где T - период колебаний. (Ответ: Wм/Wэл= 1.)

Задача 12. Через катушку, индуктивность которой L=21 мГн, течет ток, изменяющийся со временем по закону I=I0 sin( t), где I0=5 А, T=0,02 с. Найти зависимость от времени энергии магнитного поля W(t) катушки. (Ответ:

W(t)= 0,263sin2(100 t) Дж.)

Задача 13. Колебательный контур состоит из катушки индуктивности L= 0,2 Гн и конденсатора емкостью C= 20 мкФ. Конденсатор зарядили до напряжения U0=4 В. Какими будут ток I, напряжение U и заряд Q в моменты времени, когда отношение энергии электрического и магнитного поля Wэл/Wм

равно 1/2 ? (Ответ: I= 3,24 10-2А, U= 2,35 В, Q= 4,7 10-5 Кл.)

Задача 14. Какую индуктивность L надо включить в колебательный контур, чтобы при емкости C= 2 мкФ получить частоту f= 1000 Гц? (Ответ:

L= 12,7 мГн.)

Задача 15. Катушка с индуктивностью L= 30 мкГн присоединена к плоскому конденсатору с площадью пластин S= 0,01 м2 и расстоянием между ними d= 0,1 мм. Найти диэлектрическую проницаемость среды, заполняющей пространство между пластинами, если контур настроен на длину волны = 750 м.

(Ответ: = 6.)

65

ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ ПОСТОЯННЫХ

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ

Электростатика. Постоянный электрический ток.

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ. Электрические свойства тел. Элементарный заряд. Закон сохранения электрического заряда. Закон Кулона. Электрическая постоянная. Электрическое поле. Напряженность поля. Принцип суперпозиции полей. Силовые линии поля. Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса. Вычисление напряженности поля различных заряженных тел.

Работа сил электрического поля при перемещении зарядов. Циркуляция