Материал: Электричество и магнетизм. Пособие по решению задач
|
|
|
|
46 |
|
|
|
Задача 13. Длинный тонкий проводник с током |
I |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
I=100 A изогнут по дуге на 90 градусов, как показано на |
|
||||||
рисунке. |
Радиус |
кривизны |
в |
месте |
изгиба |
равен |
R |
R= 10 см. Определить индукцию магнитного поля в точ- |
|
||||||
ке «O», создаваемую этим током. (Ответ: B= 353 мкТл.) |
O |
||||||
|
|||||||
Задача 14. |
По прямому |
бесконечно длинному |
|
||||
проводнику течет ток силой I=50 А. Определить маг- |
|
||||||
нитную индукцию B в точке, удаленной на расстояние R= 5 см |
от проводника. |
||||||
(Ответ: B= 200 мкТл.) |
|
|
|
|
|
||
Задача 15. Определить магнитную индукцию в |
|
||||||
центре петли радиуса R=10 см, образованной беско- |
|
||||||
нечным тонким проводником с током. Форма петли |
|
||||||
изображена на рисунке. Ток в проводе I= 100 А. (От- |
|
||||||
вет: B=428 мкТл.) |
|
|
|
|
|
|
|
Тема 2.2. Закон полного тока. Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле
Примеры решения задач Задача 1. Вычислить циркуляцию вектора индукции вдоль контура, охва-
тывающего токи I1=10 A и I2=15 A, текущие в одном направлении, и ток I3=20 A, текущий в противоположном направлении.
Решение
Согласно закону полного тока, циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов Ii, охватываемых контуром, то есть
n
Bl dl = 0 Ii .
L |
i=1 |
По условию задачи один из токов имеет направление, противоположное двум другим. В соответствии с этим можно записать:
Bl dl = 0 (I1 + I2 - I3 )= 4 10-7 (10 +15 - 20) = 6,28 мкТл м.
L
Ответ: Bl dl = 6,28 мкТл м.
L
Задача 2. Какую работу надо затратить на перемещение проводника длиной l=0,4 м с током 21 А в однородном магнитном поле с индукцией 1,2 Тл на
47
расстояние d= 0,25 м? Проводник движется перпендикулярно к силовым линиям поля.
Решение
Площадь, пересекаемая проводником при его движении перпендикулярно силовым линиям магнитного поля, будет равна S= ld. Магнитный поток через поверхность, пересекаемую проводником, будет равен =BS. Тогда работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равна
A= I = IBld=21×1,2×0,4×0,25= 2,52 Дж.
Ответ: A= 2,52 Дж.
Задача 3. Квадратная рамка со стороной a=2 см, по которой протекает ток силой I=8 А, находится в неоднородном магнитном поле, изменяющемся в пространстве по закону Bz= kx, где k= 2 Тл/м, Bу=Bx=0. Плоскость рамки перпендикулярна линиям индукции поля. Одна из сторон рамки совпадает с осью y, вторая - с осью x, вершина рамки находится в начале координат. Какую работу нужно совершить, чтобы медленно повернуть рамку вокруг оси y таким образом, чтобы силовые линии поля лежали в плоскости рамки?
Решение
При медленном повороте рамки в магнитном поле индукционными токами можно пренебречь и считать ток в контуре неизменным. Работа по перемещению рамки с током в магнитном поле может быть найдена из соотношения A=I , где это изменение магнитного потока. Так как по условию задачи в конечном положении плоскость рамки параллельна силовым линиям поля, то магнитный поток в конечном положении рамки равен нулю. Следовательно, изменение магнитного потока будет равно его первоначальному значению, при котором ориентация рамки перпендикулярна силовым линиям поля, то есть
0
Для вычисления магнитного потока 0 разделим плоскость рамки на уз-
кие полоски шириной dx, параллельные оси y (см. рису- |
x |
|
|
|
нок). Площадь каждой полоски будет равна ds=a dx. Маг- |
|
|
||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
нитный поток через одну из таких полосок, находящуюся |
|
|
y |
|
|
|
|
||
|
|
|
||
на расстоянии x от оси y, будет равен |
|
|
|
|
d = Bz(x) ds=kxa dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрируя, находим полный поток магнитной индукции через площадь рамки
|
|
48 |
|
|
|
|
a |
|
ka3 |
|
|
0 |
kxa dx |
. |
|||
|
|||||
|
0 |
2 |
|
||
|
|
|
|
||
Окончательно имеем
A = I = I 0 = Ika3/2.
Подставляя численные значения, получим A=64 мкДж.
Ответ: A=64 мкДж.
Задача 4. Два прямолинейных длинных параллельных проводника находятся на расстоянии d1= 10 см друг от друга. По проводникам в одном направлении текут токи I1= 30 А и I2= 20 А. Какую работу A1 нужно совершить (на единицу длины проводников), чтобы раздвинуть эти проводники до расстояния d2= 20 см?
Решение
Каждый из проводников находится в магнитном поле, создаваемом другим проводником. Работа A, которую нужно совершить, чтобы переместить проводник с током I1 и длиной l параллельно самому себе в плоскости, прохо-
дящей через оба проводника, |
будет равна: A=I1 где |
- пересекаемый |
|||||
этим проводом магнитный поток. |
|
|
|
||||
Заметим, что движение этого провода происходит в магнитном поле, со- |
|||||||
здаваемом током I2. Значение магнитной индукция B, |
d1 |
dx |
d2 |
||||
создаваемой длинным прямым проводом, определя- |
|||||||
|
|
|
|||||
ется выражением |
|
|
|
|
|
|
|
|
0I |
|
I2 |
I1 |
|
|
|
B(x) = |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 x |
|
|
|
|||
где x - расстояние от провода до точки наблюдения.
Для определения величины воспользуемся рисунком и рассмотрим слой толщиной dx и длиной l, находящийся на расстоянии x от провода с током I2. Магнитный поток d , пронизывающий этот слой, будет равен: d =B(x)ds, где ds=ldx - площадь слоя. Подставляя сюда выражение для магнитной индукции B(x), получаем
d = 0I2 ldx . 2 x
Интегрируя это соотношение в пределах от d1 до d2, находим
49
d2 |
|
0 |
I |
2 |
l |
|
|
0 |
I |
2 |
l |
|
d |
2 |
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
ln |
|
. |
|||||
2 x |
|
2 |
|
d |
|||||||||||
d1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как по условию задачи требуется определить работу A1 по перемещению единицы длины проводника, то есть A1=A/l, тогда для работы A1 получаем выражение
A1 = 0I1I2 ln d2 . 2 d1
Подставляя числовые значения, находим A1= 83 мкДж/м.
Ответ: A1= 83 мкДж/м.
Задача 5. Круглый плоский виток радиусом R= 10 см, по которому течет ток I= 100 А, находится в однородном магнитном поле с индукцией B= 0,2 Тл. Плоскость витка составляет угол = 300 с направлением магнитного поля. Определить работу A, которую необходимо затратить, чтобы удалить виток за пределы поля.
Решение
Положение витка в области магнитного поля изображено на рисунке. Работа по перемещению проводника с током I в магнитном поле определяется
выражением A=I , где пересекаемый проводом |
|
|
|
магнитный поток. |
|
B |
|
Так как виток удаляется за пределы поля, то |
|
||
n |
0 где 0 - магнитный поток, пронизывающий виток до начала движения. По условию задачи плоскость рамки составляет угол
с направлением поля; следовательно, угол между нормалью к рамке и направлением линий индукции составляет 
2 . Магнитный поток равен Ф=BS cos , где S= r2 - площадь витка. Окончательно получаем, что
А=IB r2cos( /2- )=IB r2sin .
Подставляя численные значения, найдем A= 314 мДж.
Ответ: A= 314 мДж.
Задачи для самостоятельного решения.
Задача 6. Два параллельных провода длиной 1 м каждый расположены на расстоянии 2 см друг от друга. По проводам текут токи I1= I2 =100 А. Направление токов совпадают. Какую работу A нужно совершить, чтобы раздвинуть провода на расстояние 10 см? (Ответ: A= 3,2 мДж.)
50
Задача 7. Два прямолинейных длинных параллельных проводника находятся на некотором расстоянии друг от друга. По проводникам текут одинаковые токи в одном направлении. Найти токи I1 и I2, текущие по каждому проводнику, если известно, что для того, чтобы раздвинуть эти проводники на вдвое большее расстояние, пришлось совершить работу (на единицу длины проводника) Al = 55 мкДж/м. (Ответ: I1= I2= 20 А.)
Задача 8. Круговой контур помещен в однородное магнитное поле так, что плоскость контура перпендикулярна к направлению магнитного поля. Напряженность магнитного поля H= 150 кА/м. По контуру течет ток I= 2 A. Радиус контура R= 2 см. Какую работу A надо совершить, чтобы повернуть контур на угол = 900 вокруг оси, совпадающей с диаметром контура? (Ответ:
A= 0,5 мДж.)
Задача 9. Квадратная рамка с током I= 0,9 А расположена в одной плоскости с длинным прямым проводником, по которому течет ток I0= 5 А. Сторона рамки a= 8 см. Проходящая через середины противоположных сторон ось рамки параллельна проводу и отстоит от него на расстояние, которое в n= 1,5 раза больше стороны рамки. Найти силу Ампера F, действующую на рамку, и работу A, которую нужно совершить при медленном повороте рамки вокруг ее оси на 1800. (Ответ: F= 0,45 мкН, A= 0,1 мкДж.)
Задача 10. В однородном магнитном поле с индукцией B= 0,5 Тл равномерно движется проводник длиной l= 10 см. По проводнику течет ток I= 2 A. Скорость движения проводника равна v= 20 см/с и направлена перпендикулярно к направлению магнитного поля. Найти работу A перемещения проводника за время t=10 c и мощность P, затраченную на это перемещение. (Ответ: A= 0,2 Дж, P= 20 мВт.)
Задача 11. По сечению проводника равномерно распределен ток плотностью j= 2 MA/м2. Найти циркуляцию вектора напряженности магнитного поля вдоль окружности радиусом R= 5 мм, проходящей внутри проводника и ориентированной так, что ее плоскость составляет угол = 300 c вектором плотности тока. (Ответ: Hl dl 78,6A.)
Задача 12. В однородном магнитном поле с индукцией B= 0,01 Тл находится прямой провод длиной l= 8 см, расположенный перпендикулярно линиям индукции. По проводу течет ток I= 2 А. Под действием сил поля провод переместился на расстояние S= 5 см. Найти работу A сил поля. (Ответ: A= 80 мкДж.)
Задача 13. Виток радиусом 2 см находится в однородном магнитном поле с индукцией 0,2 Тл. Плоскость витка перпендикулярна линиям индукции поля.