Материал: Электричество и магнетизм. Пособие по решению задач

36

равно 0,2 Ом. Определить силу тока I в цепи.

Решение

Электродвижущие силы (ЭДС) батарей направлены в противоположные стороны, поэтому итоговая ЭДС в рассматриваемой цепи будет равна E = E1 - E2 . Закон Ома для замкнутой цепи дает

E I (R r1 r2 ) ,

где учтено, что сопротивления r1 и r2 соединены последовательно. Поэтому сила тока в цепи равна

Используя численные условия задачи, получаем I= 0,5 А.

Ответ: I=0,5 А.

Задача 3. Определить силу тока I3 в резисторе сопротивлением R3 в схеме, показанной на рисунке, и напряжение U3 на концах резистора, если E1=4 В, E2=3 В, R1=2 Ом, R2=6 Ом, R3=1 Ом. Внутренними сопротивлениями источников тока пренебречь.

Решение

Токи, текущие через резисторы, и их направления указаны на рисунке. Силы токов в разветвленной цепи определяют с помощью законов Кирхгофа.

В

Первый закон Кирхгофа для узла А гласит: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю. Считая токи текущие к узлу положительными, а токи вытекающие из узла отрицательными, получим

I1 - I2 +I3 = 0 .

Применение второго закона Кирхгофа требует предварительного выбора произвольного замкнутого контура в цепи и выбора направления обхода этого

37

контура. Если направление ЭДС в контуре совпадает с направлением обхода, то ЭДС берется со знаком плюс, а если нет, то со знаком минус. Если направление тока через некоторый резистор совпадает с направлением обхода, то падение напряжения на нем (произведение силы тока на сопротивление) берется со знаком плюс, а если нет, то со знаком минус. С учетом указанного правила знаков, второй закон Кирхгофа формулируется так: алгебраическая сумма падений напряжения в произвольном замкнутом контуре цепи равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре. Применение второго закона Кирхгофа для контура АE1В дает:

I1R1 I2R2 E1 ,

а для контура АE2В имеем

I3R3 I2R2 E2 .

Полученные уравнения представляют собой систему трех уравнений с тремя неизвестными токами I1 , I2 и I3. Решая эту систему, найдем все три неизвестные величины токов. В частности

I3 E2R1 E2R2 E1R2 . R1R2 R1R3 R2R3

Напряжение на концах резистора равно U3=I3R3 . Подстановка численных значений задачи дает следующий результат: I3=0 и U3=0.

Ответ: I3=0 А и U3 =0 В.

Задача 4. ЭДС батареи аккумуляторов E=12 В, сила тока I короткого замыкания равна 5 А. Какую наибольшую мощность Pmax можно получить во внешней цепи, соединенной с такой батареей?

Решение

Сила тока в замкнутой цепи, содержащей батарею аккумуляторов с ЭДС E, внутренним сопротивлением r и внешним сопротивлением R определяется законом Ома

Поэтому, мощность P, выделяемая на внешнем сопротивлении, равна

Рассматривая полученное выражение для P как функцию R, найдем, при каком внешнем сопротивлении достигается максимальное значение мощности. Для

38

этого необходимо продифференцировать функцию P(R) по R и найти, при каких значениях R эта производная обращается в нуль. Выполнив дифференцирование, приходим к уравнению

E2 (r R) 0 ,

(R r)3

из которого получаем, что максимальная мощность выделяется тогда, когда внешнее сопротивление R равно внутреннему r. Подставляя в выражение (2) для мощности P значение R= r, получаем, что максимальная мощность определяется соотношением

Внутреннее сопротивление батареи r найдем из условия короткого замыкания. При коротком замыкании внешнее сопротивление цепи R= 0 и, следовательно, из формулы (1) находим внутреннее сопротивление батареи

где Iкз - ток короткого замыкания. Подставляя полученное выражение для внутреннего сопротивления в формулу (3), приходим к искомому выражению для максимальной мощности

Pmax EIкз .

4

Используя численные значения задачи, получаем Pmax=15 Вт.

Ответ: Pmax=15 Вт.

Задача 5. Определить среднюю скорость v упорядоченного движения электронов в медном проводнике при силе тока I=10 А и сечении S проводника, равном 1 мм2. Принять, что на каждый атом меди приходится два электрона проводимости.

Решение

Плотность тока j в проводнике по определению равна j SI .

С другой стороны, соотношение для расчета плотности тока может быть получено через среднюю скорость носителей заряда в проводнике (электронов) v и концентрацию носителей (число носителей в единице объема проводника) n с помощью выражения:

39

j env ,

где e - элементарный заряд (e= 1,6 10-19 Кл). Приравнивая правые части полученных формул, получаем выражение для средней скорости

v I . enS

Концентрацию электронов n найдем из следующих соображений. Сначала из таблицы Менделеева находим молярную массу меди: M=64×10-3 кг/кмоль. В одном моле любого вещества содержится NA = 6×1023 атомов (число Авогадро). Объем одного моля меди равен V=M/ , где - плотность меди ( =8,93×103 кг/м3). Поэтому, число атомов меди в единице объема n0 будет равно

n0 N A N A . V M

Так как на каждый атом меди приходится два электрона проводимости, то концентрация электронов проводимости будет n= 2n0. В итоге, средняя скорость электронов равна

Подставляя в эту формулу численные значения задачи, окончательно получим v= 3,7×10-6 м/с.

Ответ: v= 3,7 мкм/с.

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 6. Определить плотность тока j в железном проводнике (удельное сопротивление железа =98 нОм м) длиной l= 10 м, если провод находится под напряжением U=6 В. (Ответ: j= 6,1 МА/м2.)

Задача 7. Внутреннее сопротивление r батареи аккумуляторов равно 3 Ом. Сколько процентов от точного значения ЭДС составляет погрешность, если, измеряя разность потенциалов на зажимах батареи вольтметром с сопротивлением RВ= 200 Ом, принять ее равной ЭДС? (Ответ: 1,48%.)

Задача 8. К источнику тока с ЭДС E= 1,5 В присоединили катушку с сопротивлением R= 0,1 Ом. Амперметр показал силу тока, равную I1=0,5 А. Когда к источнику тока присоединили последовательно еще один источник тока с такой же ЭДС, то сила тока в той же катушке оказалась равной 0,4 А. Определить внутренние сопротивления r1 и r2 первого и второго источников тока. (Ответ: r1= 2,9 Ом, r2= 4,5 Ом.)

Задача 9. Три источника тока с ЭДС E1=11 В, E2=4 В и E3=6 В и три рео-

40

стата с сопротивлениями R1=5 Ом, R2=10 Ом и R3=2 Ом соединены, как показано на рисунке.

Определить силы токов I в реостатах. Внутреннее сопротивление источника тока пренебрежимо мало. (Ответ: I1= 0,8 А, I2= 0,3 А, I3= 0,5 А.)

Задача 10. К батарее аккумуляторов, ЭДС E которой равна 2 В и внутреннее сопротивление r= 0,5 Ом, присоединен проводник. Определить: 1) сопротивление R проводника, при котором мощность, выделяемая в нем, максимальна; 2) мощность P, которая при этом выделяется в проводнике. (Ответ:

R= 0,5 Ом, P= 2 Вт.)

Задача 11. ЭДС E батареи равна 20 В. Сопротивление R внешней цепи равно 2 Ом, сила тока I= 4 А. Найти КПД батареи. При каком значении внешнего сопротивления R0 КПД будет равен 99% ? (Ответ: КПД=0,4, R0=297 Ом.)

Задача 12. Сила тока в проводнике сопротивлением r=100 Ом равномерно нарастает от I0= 0 до Imax=10 А в течение времени t= 30 с. Определить количество теплоты Q, выделившееся за это время в проводнике. (Ответ:

Q=100 кДж.)

Задача 13. Сила тока в проводнике сопротивлением R= 12 Ом равномерно убывает от I0=5 А до I=0 в течение времени t= 10 с. Какое количество теплоты Q выделяется в этом проводнике за указанный промежуток времени? (От-

вет: Q=1 кДж.)

Задача 14. По проводнику сопротивлением R= 3 Ом течет ток, сила которого линейно возрастает. Количество теплоты Q, выделившееся в проводнике за время t= 8 с, равно 200 Дж. Определить количество электричества q, протекшее за это время по проводнику. В начальный момент времени сила тока в проводнике равна нулю. (Ответ: q= 20 Кл.)

Задача 15. Сила тока в металлическом проводнике равна 0,8 А, сечение S проводника 4 мм2. Принимая, что в каждом кубическом сантиметре металла содержится n= 2,5 1022 свободных электронов, определить среднюю скорость v их упорядоченного движения. (Ответ: v= 0,05 мм/с.)