Материал: Электричество и магнетизм. Пособие по решению задач

31

Q=10 нКл, плечо l =0,5 см.

Решение

Вектором электрического момента диполя p называется произведение заряда |Q| (взятого по модулю) на плечо l. Вектор l направлен от отрицательного заряда диполя к его положительному заряду. Поэтому, длина вектора дипольного момента p равна произведению Ql. Подставляя численные значения Q=10-8 Кл и l=5.10-3 м , получаем p= 5×10-8 Кл м.

Ответ: p=50 нКл м.

Задача 2. Определить напряженность Е и потенциал поля, создаваемого диполем с электрическим моментом р=4 пКл м на расстоянии r=10 см. от центра диполя, в направлении, составляющем угол = 600 c вектором электрического момента.

Решение

Напряженность поля диполя определяется выражением

а потенциал электрического поля в этой же точке пространства равен

Используя численные значения задачи, получаем E= 47,6 В/м и = 1,8 В.

Ответ: E= 47,6 В/м, = 1,8 В.

Задача 3. Расстояние d между пластинами плоского конденсатора равно 2 мм, разность потенциалов U= 1,8 кВ. Диэлектрик - стекло с диэлектрической проницаемостью = 7,0. Определить диэлектрическую восприимчивость стекла и поверхностную плотность связанных (поляризационных) зарядов на поверхности стекла.

Решение

Диэлектрическая проницаемость связана с диэлектрической восприимчивостью соотношением

= 1+ .

Поэтому =6,0. Поверхностная плотность связанных зарядов на границе

32

стекла равна нормальной (перпендикулярной к поверхности диэлектрика) компоненте вектора поляризации P, который, в свою очередь, определяется через вектор напряженности электрического поля в диэлектрике E с помощью соотношения:

P = 0E ,

где 0 - электрическая постоянная. Напряженность же электрического поля внутри конденсатора равна

E U .

d

В нашем случае длина нормальной компоненты вектора поляризации равна длине всего вектора P, так как последний перпендикулярен к границе раздела. Поэтому, выражение для поверхностной плотности связанного заряда имеет вид

P ( 1) 0U .d

Используя численные значения задачи, получаем = 47,7 мкКл/м2 .

Ответ: =6,0 и =47,7 мкКл/м2 .

Задача 4. Расстояние d между пластинами плоского конденсатора равно 0,2 см, разность потенциалов U= 6 кВ. Заряд Q каждой пластины равен 10 нКл. Вычислить энергию W поля конденсатора и силу F взаимного притяжения пластин.

Решение

Энергия заряженного конденсатора определяется по любой из следующих трех формул:

W CU 2 Q2 QU . 2 2C 2

Для нашей задачи последнее соотношение сразу определяет энергию поля конденсатора W= 3 10-5 Дж. С другой стороны, используя выражение для емкости плоского конденсатора

C 0S , d

где S - площадь пластин, получаем энергию поля конденсатора в виде

33

Если расстояние между пластинами будет переменной величиной, которую мы обозначим через x, то последняя формула определяет зависимость энергии электрического поля внутри конденсатора от расстояния x между его пластинами

Q2 x W (x) 2 0S .

Учитывая известную из механики связь между энергией W и проекцией Fx силы взаимодействия пластин

F dW ,

Знак минус в этой формуле указывает на то, что сила взаимодействия пластин препятствует увеличению энергии поля конденсатора, то есть это сила притяжения. Используя численные значения задачи и вычисленную величину энергии W , получаем F =15 мН .

Ответ: W=3 10-5 Дж, F =15 мН.

Задача 5. Найти энергию W уединенной сферы радиусом R=4 см, заряженной до потенциала = 500 В.

Решение

Энергия заряженного уединенного проводника определяется выражением

W C 2 , 2

где - потенциал проводника, C - электрическая емкость проводника. В нашем случае емкость сферы равна

C 4 0R

и, поэтому,

W 2 0R 2 .

Используя численные значения задачи, получаем W= 0,55 мкДж.

34

Ответ: W=0,55мкДж.

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 6. Расстояние l между зарядами Q = 3,2 нКл диполя равно 12 см. Найти напряженность E поля, созданного диполем в точке, удаленной на r= 8 см как от первого, так и от второго заряда. (Ответ: E=6,75 кВ/м.)

Задача 7. Эбонитовая плоскопараллельная пластина помещена в однородное электрическое поле напряженностью Е0= 2 МВ/м. Грани пластины перпендикулярны линиям напряженности поля. Определить поверхностную плотность связанных зарядов на гранях пластины. (Ответ: = 11,8 мкКл/м2.)

Задача 8. Металлический шар радиусом 5 см окружен равномерно слоем

занных зарядов, соответственно, на внутренней и внешней поверхностях ди-

ческого поля в диэлектрике ( = 3) его поляризованность Р достигнет значения, равного 200 мкКл/м2. (Ответ: Е= 11,3 МВ/м.)

Задача 10. Определить поляризованность Р стекла, помещенного во внешнее электрическое поле напряженностью Е0=5 МВ/м. (Ответ:

Р=37,9 мкКл/м2).

Задача 11. Диэлектрик поместили в электрическое поле напряженностью Е0=20 кВ/м. Чему равна поляризованность Р диэлектрика, если напряженность Е среднего макроскопического поля в диэлектрике оказалась равной 4 кВ/м?

(Ответ: Р= 142 нКл/м2.)

Задача 12. Конденсатору электроемкость С которого равна 10 пФ, сооб-

расстояние d= 1 мм, диэлектрик - слюда с диэлектрической проницаемостью= 7,0 и площадь S каждой пластины равна 300 см2 ? (Ответ: Q=0,209 Дж.)

Задача 14. Сила F притяжения между пластинами плоского воздушного конденсатора равна 50 мН. Площадь S каждой пластины равна 200 см2. Найти плотность энергии w поля конденсатора. (Ответ: w=2,5Дж/м3.)

Задача 15. Конденсаторы электроемкостями C1=1 мкФ, C2=2 мкФ, C3=3 мкФ включены в цепь с напряжением U= 1,1 кВ. Определить энергию

35

каждого конденсатора в случаях: 1) последовательного их включения; 2) параллельного включения. (Ответ: 1) 0,18 Дж, 0,09 Дж, 0,06 Дж; 2) 0,605 Дж,

1,21 Дж, 1,82 Дж.)

Тема 1.5. Постоянный электрический ток

Примеры решения задач.

Задача 1. Сила тока в проводнике равномерно нарастает от I0= 0 А до I= 3 А в течение времени t= 10 с. Определить заряд Q, прошедший в проводнике.

Решение

Условие равномерного возрастания тока приводит к линейной зависимости тока I от времени, а именно I=at+b, где a и b - неизвестные константы. Учитывая, что в начальный момент времени t= 0 ток был равен нулю, получаем b=0. При t=10 с ток в проводнике равен I=3 А. Это условие приводит к соотношению 3=10a, откуда a= 0,3. Таким образом, зависимость тока от времени имеет вид I= 0,3t. По определению силы тока имеем

dQdt I ,

откуда dQ=Idt. Интегрируя последнее равенство с учетом полученной зависимости тока от времени, находим

где C - неизвестная константа интегрирования. Она определяется из начальных условий: в момент времени t=0 еще никакого заряда через проводник не протекло и, поэтому, в этот момент времени Q= 0. Этому условию удовлетворяет константа C равная нулю. Следовательно, зависимость заряда от времени определяется соотношением

Q 0,3t 2 . 2

Подставляя сюда значение t= 10 с, находим заряд, протекший по проводнику за указанное время: Q=15 Кл.

Ответ: Q=15 Кл.

Задача 2. Две батареи (E1= 1,2 В, r1=0,1 Ом и E2=0,9 В, r2=0,3 Ом) соединены одноименными полюсами. Сопротивление R соединительных проводов