Материал: Электричество и магнетизм. Пособие по решению задач

12

где В - магнитная индукция, Н - напряженность магнитного поля.

где с - скорость света в вакууме.

РАЗДЕЛ 1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК

Тема 1.1. Электрическое поле в вакууме. Напряженность поля. Теорема Гаусса.

Примеры решения задач

Задача 1. Три одинаковых положительных заряда Q1=Q2=Q3= 1 нКл расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой отрицательный заряд Q4 нужно поместить в центре треугольника, чтобы сила притяжения с его стороны уравновесила силы взаимного отталкивания зарядов, находящихся в вершинах?

Решение

Схема расположения зарядов показана на рисунке. Все три заряда, расположенных в вершинах треугольника, находятся в одинаковых условиях. Поэтому для решения задачи достаточно выяснить, какой заряд Q4 следует поместить в центре треугольника, чтобы один из трех положительных зарядов, например Q1, находился в равновесии. В соответствии с принципом суперпозиции, на за-

13

ряд Q1 действует каждый заряд независимо от остальных. Поэтому заряд Q1 будет находиться в равновесии, если векторная сумма действующих на него сил

равна нулю:

(1)

где F2, F3, F4 - силы, с которыми действуют на за-

ряд Q1 заряды Q2, Q3, и Q4; F - равнодействующая сил F2 и F3 .

Так как силы F и F4 направлены по одной прямой, то векторное равенство (1) можно заменить скалярной суммой F - F4 = 0 или F4 = F . Выразим в последнем равенстве F через F2 и F3. Учитывая, что F2

=F3, получим F=2F2cos( /2). Так как сos2( /2)=(1/2)(1+сos ), то имеем:

F4 F2 2(1 cos ) .

Применяя закон Кулона, согласно которому

F2 Q1Q22 , F4 Q1Q42 ,

4 0r 4 0r1

и имея в виду, что Q2=Q3=Q1, найдем:

Отсюда получаем выражение для величины заряда Q4:

Из геометрических построений в равностороннем треугольнике следует, что cos = 1/2, r1 r3 . С учетом этого, формула (2) примет следующий вид

Q4 Q1 3 . Подставив сюда значение Q1, получаем, что Q4=0,58 нКл.

Ответ: Q4=0,58 нКл.

Задача 2. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами Q1=30 нКл и Q2= -10 нКл. Расстояние d между зарядами равно 20 см. Определить напряженность электрического поля в точке, находящейся на расстоянии r1=15 см от первого и на расстоянии r2=10 см от второго зарядов.

Решение

Согласно принципу суперпозиции электрических полей, каждый заряд создает поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов. Поэтому напряженность E электрического поля в искомой точке может быть

14

найдена как векторная сумма напряженностей E1 и E2 полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности, то есть E=E1+E2, как показано на рисунке.

Напряженности электрических полей, создаваемых в вакууме первым и вторым зарядами, равны

Ответ: E=16,7 кВ/м.

Задача 3. Тонкий стержень длиной L=30 см несет равномерно распределенный по длине заряд с линейной плотностью = 1 мкКл/м. На расстоянии r0= 20 см от стержня находится заряд Q1= 10 нКл, равноудаленный от концов стержня. Определить силу F взаимодействия точечного заряда с заряженным стержнем.

Решение

Закон Кулона позволяет вычислить силу взаимодействия двух точечных зарядов. По условию задачи, один из зарядов не является точечным, а представляет собой заряд, равномерно распределенный по длине стержня. Однако, если выделить на стержне бесконечно малый участок длиной dl, как показано на рисунке, то находящийся на нем заряд dQ= dl можно рассматривать как точечный. Тогда, по закону Кулона, силу взаимодействия между зарядами Q1 и dQ можно записать в виде:

15

е r0 - расстояние от заряда Q1 до стержня. Подставив выражения для r и dl в формулу (1), получим:

Следует иметь в виду, что dF это вектор, поэтому, прежде чем интегрировать, разложим его на две составляющие: dF1, перпендикулярную стержню, и dF2, параллельную стержню. Из рисунка также видно, что dF1=dF cos и dF2=dF sin . Подставляя значение dF из выражения

(2) в эти формулы, найдем:

Интегрирование второго выражения дает нуль в силу симметрии расположения заряда Q1 относительно стержня.

Таким образом, сила, действующая на заряд Q1, равна:

Из рисунка следует, что