Материал: Электричество и магнетизм. Пособие по решению задач
16
1=0,4 мкКл/м2 и 2=0,1 мкКл/м2. Определить напряженность электрического поля, созданного этими заряженными плоскостями.
Решение
Согласно принципу суперпозиции, поля, создаваемые каждой заряженной плоскостью в отдельности, накладываются друг на друга, причем каждая заря-
I |
1 |
II |
2 |
III |
женная плоскость создает электрическое поле |
||||||
независимо от присутствия другой заряженной |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
E1 |
|
|
|
|
E2 |
плоскости. Напряженности однородных элек- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
трических полей, создаваемых первой и второй |
|||||
E(I) |
|
|
E(II) |
|
E(III) |
плоскостями, соответственно, равны: |
|||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
E1= |
и E2= |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 0 |
|||
Плоскости делят все пространство на три области: (I), (II) и (III), как показано на рисунке. Так как обе плоскости заряжены положительно, то в первой и третьей областях электрические силовые линии обоих полей направлены в одну сторону и, следовательно, напряженности суммарных полей E(I) и E(III) в первой и третьей областях равны между собой и равны сумме напряженностей полей, создаваемых первой и второй плоскостями:
E(I) = E(III) = E1+E2 |
или E(I) = E(III) = |
1 2 = 28,3 кВ/м. |
|
|
2 0 |
Во второй области (между плоскостями) электрические силовые линии полей направлены в противоположные стороны и, следовательно, напряженность поля E(II) равна разности напряженностей полей, создаваемых первой и второй плоскостями:
E(II) = E1 - E2 или E(II) = 1 2 =17 кВ/м.
2 0
На рисунке указаны направления электрических полей E1, E2, и E, создаваемых, соответственно, первой плоскостью, второй плоскостью и двумя плоскостями вместе.
Ответ: E(I) = E(III) =28,3 кВ/м; E(II) =17 кВ/м.
Задача 5. Две концентрические проводящие сферы радиусами R1=6 см и R2=10 см несут, соответственно, заряды Q1=1 нКл и Q2= -0,5 нКл. Найти напряженность поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях r1=5 см, r2=9 см и r3 =15 см. Построить график зависимости напряженности поля от расстояния E(r).
17
Решение
Геометрия задачи показана на рисунке. Точки, в которых требуется найти напряженности электрического поля, лежат в трех областях: область I (r<R1), область II (R1<r<R2) и область III (r>R2).
1. Для определения напряженности E1 в области I проведем сферическую поверхность S1 радиусом r1 и воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса.
Так как внутри области I зарядов нет, то, согласно указанной теореме, получим равенство
EndS 0 , |
(1) |
S |
|
где En - нормальная составляющая напряженности электрического поля. Из соображений симметрии следует, что нормальная составляющая En должна быть равна самой напряженности и постоянна для
всех точек сферы, т. е. En=E1=const. Поэтому, её можно вынести за знак интеграла. Равенство (1) тогда примет вид E1 dS 0 . Так как площадь сферы не
S
равна нулю, то E1=0. Напряженность поля будет равна нулю во всех точках, удовлетворяющих условию r<R1 .
2. В области II проведем сферическую поверхность радиусом r2. Так как внутри этой поверхности находится заряд Q1, то для неё, согласно теореме Остроградского-Гаусса, можно записать равенство
|
|
|
|
EndS |
Q1 |
. |
(2) |
|||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Так как En = E2 = const, то из условий симметрии следует, что |
||||||||||||||
|
E2 dS |
Q1 |
или E2S2 |
|
Q1 |
, |
||||||||
|
0 |
|
||||||||||||
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
откуда получаем: E2 = |
Q1 |
|
|
.Подставив сюда выражение площади сферы, по- |
||||||||||
0S |
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
лучим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E2= |
|
|
Q1 |
|
= 1,11 кВ/м . |
(3) |
|||||||
|
|
4 |
r 2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
0 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
3. В области III проведем сферическую поверхность радиусом r3. Эта поверхность охватывает суммарный заряд Q1+Q2. Следовательно, для неё уравнение, записанное на основе теоремы Остроградского-Гаусса, будет иметь вид
18
EndS |
Q1 Q2 |
. |
|
||
S |
0 |
|
|
|
|
Отсюда, применяя утверждения, использованные в первых двух случаях, найдем:
E3= Q1 Q2 =200 В/м.
4 0r32
4. Построим график E(r). В области I (r1<R1) напряженность E= 0. В области II (R1<r<R2) напряженность изменяется по закону 1/r2. В точке r=R1 напря-
женность равна
E I |
II |
|
III |
|
|
|
E2(R1) = |
|
Q1 |
|
=2500 В/м. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0 |
R2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
В точке r=R2 (слева) имеем |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
E2(R2)= |
|
Q1 |
|
=900 В/м. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0 |
R2 |
|
||||||
0 |
R1 |
R2 |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
В области III (r>R2) напряженность E3 изменяет- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
ся по закону 1/r2, причем в точке r=R2 (справа) имеем: |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
E3(R2) = |
Q1 Q2 |
= 450 В/м. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
4 |
0 |
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, в точках r=R1 и r=R2 функция E(r) терпит разрыв. Качественный вид графика зависимости E(r) представлен на рисунке.
Задачи для самостоятельного решения.
Задача 6. Два шарика массой m=0,1 г каждый подвешены в одной точке на нитях длиной l=20 см каждая. Получив одинаковый заряд Q, шарики разошлись так, что нити образовали между собой угол = 60 . Найти заряд каждого шарика. (Ответ: Q= 50,1 нКл.)
Задача 7. В вершинах квадрата находятся одинаковые заряды Q= 0,3 нКл каждый. Какой отрицательный заряд Q1 нужно поместить в центре квадрата, чтобы сила взаимного отталкивания положительных зарядов была уравновешена силой притяжения отрицательного заряда? (Ответ: Q1= -0,287 нКл.)
Задача 8. Тонкий длинный стержень равномерно заряжен с линейной плотностью заряда , равной 10 мкКл/м. На продолжении оси стержня на расстоянии a=20 см от его конца находится точечный заряд Q=10 нКл. Определить силу F взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда. (Ответ:
F=4,5 мН.)
19
Задача 9. Тонкое полукольцо радиусом R= 10 см несет равномерно распределённый заряд с линейной плотностью 1 мкКл/м. В центре кривизны полукольца находится заряд Q=20 нКл. Определить силу F взаимодействия точечного заряда и заряженного полукольца. (Ответ: F=3,6 мН.)
Задача 10. Прямой металлический стержень диаметром d=5 см и длиной l=4 м несет равномерно распределенный по его поверхности заряд Q=500 нКл. Определить напряженность E поля в точке, находящейся против середины стержня на расстоянии a= 1 см от его поверхности. (Ответ: E=64,3 кВ/м.)
Задача 11. Тонкое кольцо с радиусом R=8 см несет заряд, равномерно распределенный по кольцу с линейной плотностью = 10 нКл/м. Какова напряженность E электрического поля в точке, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние r=10 см? (Ответ: E= 2,71 кВ/м.)
Задача 12. Электрическое поле создано двумя бесконечными параллельными пластинами, несущими равномерно распределенный по площади заряд с поверхностными плотностями 1= 2 нКл/м2 и 2= 5 нКл/м2. Определить напряженность E поля: 1) между пластинами; 2) вне пластин. Построить график изменения напряженности вдоль линии, перпендикулярной к пластинам. (От-
вет: 1) E=396 В/м; 2) E=170 В/м.)
Задача 13. Точечный заряд Q=1 мкКл находится вблизи большой равномерно заряженной пластины против её середины. Вычислить поверхностную плотность заряда пластины, если на точечный заряд действует сила F=60 мН. (Ответ: = 1,06 мкКл/м 2.)
Задача 14. На металлической сфере радиусом R=10 см находится заряд Q=1 нКл. Определить напряженность E электрического поля в следующих точках: 1) на расстоянии r1=8 см от центра сферы; 2) на её поверхности; 3) на расстоянии r2=15 см от центра сферы. Построить график зависимости E от r. (От-
вет: 1) E=0; 2) E=900 В/м; 3) E=400 В/м.)
Задача 15. Прямоугольная плоская площадка со сторонами, длины a и b которых равны 3 и 2 см, соответственно, находится на расстоянии R= 1 м от точечного заряда Q=1 мкКл. Площадка ориентирована так, что линии напряженности составляют угол = 30 с её поверхностью. Найти поток E вектора напряженности через площадку. (Ответ: E =2,7 В м.)
Тема 1.2. Работа сил электростатического поля. Потенциал.
Примеры решения задач
Задача 1. Положительные заряды Q1=3 нКл и Q2=20 нКл находятся в ва-
20
кууме на расстоянии r1= 1,5 м друг от друга. Определить работу A , которую надо совершить, чтобы сблизить заряды до расстояния r2= 1 м.
Решение
Предположим, что первый заряд Q1 остается неподвижным. Тогда второй заряд Q2 под действием внешних сил перемещается в поле, созданном зарядом Q1. При этом, он приближается к нему с расстояния r1= 1,5 м до r2= 1 м. Работа A внешней силы по перемещению заряда Q2 из одной точки поля с потенциалом 1 в другую, потенциал которой 2, равна по модулю и противоположна по знаку работе A сил поля по перемещению заряда между теми же точками
A = -A .
Работа A сил поля по перемещению заряда равна A=Q2( 1- 2). Тогда ра-
бота А внешних сил может быть записана в виде |
|
|||||||||||
A = -Q2 ( 1 - 2) = Q2 ( 2 - 1). |
(1) |
|||||||||||
Потенциалы точек начала и конца пути выразятся формулами |
||||||||||||
1 |
|
Q1 |
; |
|
|
2 |
|
Q1 |
. |
|||
4 0r1 |
|
|
4 0r2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Подставляя выражения для 1 |
и 2 |
в соотношение (1), получаем |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
A |
|
Q1Q2 1 |
|
|
|
|
||||||
= |
4 |
|
|
r |
|
r |
|
=180 мкДж . |
||||
|
|
|
|
0 2 |
1 |
|
|
|
|
|||
Ответ: A = 180 мкДж.
Задача 2. Найти работу A поля по перемещению заряда Q= 10 нКл из точки 1 в точку 2, находящиеся между двумя разноименно заряженными с поверхностной плотностью = 0,4 мкКл/м2 бесконечными параллельными плоскостями, расстояние между которыми l равно 3 см.
Решение
Расположение точек «1» и «2» между заряженными плоскостями показа-
но на рисунке. Возможны два способа решения задачи. |
|
||||||
|
|
|
|
Первый способ. Работу сил поля по пе- |
|||
I |
|
|
|
|
ремещению заряда Q из точки 1 поля с потен- |
||
|
|
|
|
||||
1 |
Q |
|
|
циалом 1 |
в точку 2 поля с потенциалом 2 |
||
|
|
r |
|
l |
найдем по формуле |
|
|
|
F |
|
2 |
|
|
||
|
|
|
A=Q ( 1 - 2) |
. (1) |
|||
II |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Для определения потенциалов в точках 1 и 2 |
|||
|
|
|
|
||||