Материал: Частина 3

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

“Курс вищої математики. Частина 3.”

В цьому випадку говорять, що особливість функції f в точці z0 усунена. Для усунення особливої крапки досить довизначити функцію в центрі круга (f(z0)= c0) і функція буде аналітичною не тільки в околиці центру круга, але і в самому центрі.

В цьому випадку ∫ f (z)dz = 0 для будь-якого контура L, що містить точку z0 і

що належить до круга z − z0 < R .

m	c−k		∞
2) Функція f(x) має вигляд: f (z) = f1 (z) + ∑			= ∑ck (z − z0 )k .
	(z − z0 )	k
k =1			k =−m

В цьому випадку точка z0 називається полюсом функції f(z) порядку

(кратності) m. При m = 1 точку z0 називають ще простим полюсом.

Порядок полюса може бути визначений по формулі:

zlimz (z − z0 )m f (z) = c ≠ 0

→ 0

z0 – полюс порядку т.

			∞	m	c−k
3) Функція f(z)		має вигляд f (z) = ∑ck (z − z0 )k +∑			c−k			=f1 (z) + f2 (z) , де у
3) Функція f(z)		має вигляд f (z) = ∑ck (z − z0 )k +∑			(z − z	0 )	k	=f1 (z) + f2 (z) , де у
			k =0	k =1	(z − z	0 )
∞	c−k
ряді f2 (z) = ∑	c−k		не рівна нулю нескінченна кількість коефіцієнтів с-k.
ряді f2 (z) = ∑	(z − z0 )	k	не рівна нулю нескінченна кількість коефіцієнтів с-k.
k =1	(z − z0 )		говорять, що функція f(z) має в точці z0 істотно особливу
В цьому випадку			говорять, що функція f(z) має в точці z0 істотно особливу
крапку.

Визначення. Хай z0 – ізольована особлива крапка функція f(z), тобто хай функція f(z) – аналітична в деякому крузі z − z0 < R з якого виключена точка z0. Тоді інтеграл

1		f (z)dz = Выч f (z)
2πi L		f (z)dz = Выч f (z)
	∫	z=z0

називається вирахуванням функції f(z) в точці z0, де L – контур в крузі z − z0 < R , орієнтований проти годинникової стрілки і що містить в собі точку z0.

Вирахування також позначають іноді Re s f (z) .

		z0
∞
Якщо f (z) = ∑ck (z − z0 )k ;	0 <	z − z0	< R; є ряд Лорана функції f в точці z0,
Якщо f (z) = ∑ck (z − z0 )k ;	0 <	z − z0	< R; є ряд Лорана функції f в точці z0,
k =−∞
то Выч f (z) = c−1 .
z=z0

Таким чином, якщо відоме розкладання функції в ряд Лорана, то вирахування легко може бути знайдений у разі будь-якої особливої крапки.

У окремих випадках вирахування може бути знайдений і без розкладання в ряд Лорана.

Наприклад, якщо функція f (z) = ψϕ((zz)) , ϕ(z0 ) ≠ 0 , а ψ(z) має простій нуль при z = z0 (ψ(z0 ) = 0, ψ′(z0 ) ≠ 0) , то z = z0 є простим полюсом функції f(z).

Тоді можна показати, що вирахування знаходиться по формулі

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Выч = c	−1	=	ϕ(z0 )
			ψ′(z0 )
z=z0

Якщо z = z0 – полюс порядку m ≥ 1, то вирахування може бути знайдений по формулі:

Выч f (z) = c−1 =	1	lim	d m−1[(z − z0 )m f (z)]
			dzm−1
z=z0	(m −1)! z→z0

Приклад. Знайти вирахування функції	f (z) =	1	щодо точки z = 2.
		(z − 2)2 (z −3)

Ця крапка є полюсом другого порядку. Отримуємо:

Выч = lim	d	[(z − 2)2 f (z)] = lim	d 1	= lim	1	= −1.

	dz		dz z −3		(z −3)2
z=2 z→2		z→2		z→2

Теорема про вирахування.

Теорема. Хай функція f(z) – аналітична на всій площині z, за винятком кінцевого числа точок z1, z2 ., zN. Тоді вірна рівність:

N
∑Выч f (z) + Выч f (z) = 0
k =1	z=z	k	z=∞
k =1		k

А інтеграл від функції по контуру L, що містить усередині себе ці крапки, рівний

∫		N
∫	f (z)dz = 2πi	∑ z=z j
	f (z)dz = 2πi	Вычf (z)
L		j=1

Ці властивості застосовуються для обчислення інтегралів. Якщо функція f(z) аналітична у верхній напівплощині, включаючи дійсну вісь, за винятком N крапок, то справедлива формула

∞		N
∫	f (x)dx = 2πi	∑ z=z j
	f (x)dx = 2πi		Вычf (z)
−∞		j=1
Приклад. Обчислити певний інтеграл		∞∫		dx			.
Приклад. Обчислити певний інтеграл		∞∫		2		2	.
	−∞(x			+	4)

Подинтегральная функція є аналітичною у верхній напівплощині за винятком точки 2i.

Ця крапка є полюсом другого порядку.

Знайдемо

вирахування

функції

(z − 2i)

Выч

= lim

+ 4)

dz (z + 2i)

z=2i

z→2i

“Курс вищої математики. Частина 3.”

= lim

− 2

= −

;

(4i)3

32i

z→2i (z + 2i)3

Отримуємо

∞∫

= 2πi

32i

−∞(x

Приклад. Обчислити певний інтеграл

∞∫

−∞(x

+1)

Подинтегральная функція є аналітичною у верхній напівплощині за винятком точки i.

Ця крапка є полюсом другого порядку.

Знайдемо вирахування функції

−i)

Выч

lim

−

lim

+1)

(z + i)

z=i

z→i

= 6

(2i)5

32i

16i

∞

3π

Отримуємо ∫

= 2πi

+1)

16i

−∞(x

Операційне числення.

Перетворення Лапласа.

(Пьер Симон Лаплас (1749 – 1825) – французький математик)

Розглянемо функцію дійсного змінного t, визначену при t ≥ 0. Також вважатимемо, що функція f(t) - кусочно - безперервна, тобто в будь-якому кінцевому інтервалі вона має кінцеве число точок розриву першого роду, і визначена на нескінченному інтервалі (- ∞∞), але f(t)= 0 при t < 0.

Вважатимемо, що функція обмежена умовою: f (t) < Mest

Розглянемо функцію

∞

F( p) = ∫e−pt f (t)dt

де p = а + ib – комплексне число.

Визначення. Функція F(p) називається зображенням Лапласа функції f(t). Також функцію F(p) називають L – зображенням або перетворенням Лапласа.

Позначається F( p) = L{ f (t)};	•	•
Позначається F( p) = L{ f (t)};	F( p) → f (t);	F( p) = f (t);
	•	•

При цьому функція f(t) називається початковою функцією або оригіналом, а процес знаходження оригіналу по відомому зображенню називається операційним численням.

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Теорема. (Теорема єдиності) Якщо дві непрерывнные функції f(x) і g(x) мають одне і те ж L – зображення F(p), то вони тотожно рівні.

Визначення. Функцією Хевісайда (Олівер Хевісайд (1850 – 1925) –

англійський фізик) називається функція		t ≥ 0
σ0	1,
	(t) =	t < 0
	0,

Властивості зображень.

ЯкщоF ( p) =•• f (t) , то справедливі наступні властивості:

1)	Властивість подібності.	1		p
	•	1		p
	f (αt) =		F		;	α > 0;
	f (αt) =	α	F		;	α > 0;
	•	α		α
2)	Властивість лінійності.

L[Af (t) + Bg(t)] = AL[ f (t)] + BL[g(t)].

3) Зсув зображення.

f(t)e−αt =•• F( p + α)

4)Диференціювання зображення.

(−1)n		d n			F( p) =•	t n f (t)
(−1)n					F( p) =•	t n f (t)
		dp	n		•
		dp

5) Диференціювання оригіналу.
					•	′
pF ( p) − f (0) =•						f (t)
6) Інтеграція зображення.
	f (t)			=•• ∞∫F(q)dq
		t		=•• ∞∫F(q)dq
		t			p

(Справедливо за умови, що інтеграл сходиться) 7) Інтеграція оригіналу.

t	•	F( p)
∫
	•
0	f (τ)dτ=	p

Таблиця зображень деяких функцій.

Для більшості функцій зображення знаходиться безпосередньою інтеграцією.

Приклад. Знайти зображення функції f(t)= sint.

“Курс вищої математики. Частина 3.”

∞

− pt

= e

;

dv = sin tdt;

F( p) = ∫e−pt sin tdt =

−pt

= −e

−pt cos t

du = −pe

dt; v = −cos t;

∞

− pt

∞

=1 − p∫e−pt

u = e

;

= cos tdt;

=1− pe−pt

cos tdt =

−pt

sin t

−

du = −pe

dt; v = sin t;

(1+ p2 )∞∫e−pt sin tdt =1

∞∫e−pt sin tdt =

;

sin t =••

;

1 + p

1+ p

∞	∞
0	− ∫ pe−pt cos tdt =
0	0
	p2	∞∫e−pt sin tdt.
		0

Для багатьох функцій зображення пораховані і приведені у відповідних таблицях.

№

f(t)

F(p)

№

f(t)

F(p)

t n

pn+1

sint

t sin at

2 pa

p2 + α2

( p2 + a2 )2

cost

t cos at

−

− p

p2 + α2

( p2 + a2 )2

e-t

te−αt

p + α

( p + α)2

sht

(sin at −

p2 − α2

2a3

( p2 + a2 )2

− at cos at)

cht

t n f (t)

(−1)n

F( p)

− α

dpn

e−αt sin at

∫

(τ) f2 (t − τ)dτ

F1 ( p)F2 ( p)

( p + α)

+ a

e−αt cos at

p + α

f (n) (t)

pn F( p) *

( p + α)2

+ a2

* - за умови, що f (0) =

′

= ... =

(n−1)

(0) = 0

f (0)

Теореми згортки і запізнювання.

Теорема. (теорема запізнювання) Якщо f(t)= 0 при t < 0, то справедлива формула

L[ f (t −t0 )] = e− pt0 L[ f (t)]

де t0 – деяка крапка.

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных