Материал: Частина 3

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

“Курс вищої математики. Частина 3.”

cos z =

eiz + e−iz

sin z =

eiz −e−iz

ez = ex+iy

= ex eiy

= ex (cos y +i sin y)

ez1 +z2 = ez1 ez2 ;

(ez )m = ezm ;

ez+2πi = ez ;

tgz =

sin z

eiz

− e−iz

;

cos z

i(eiz

+ e−iz )

ctgz =

cos z

i(eiz + e−iz

)

;

sin z

eiz − e−iz

Для тригонометричних функцій комплексного аргументу справедлива основна тригонометрична тотожність (синус і косинус суми, різниці і так далі), яка справедлива для функцій дійсного аргументу.

Визначення. Гіперболічним синусом, косинусом, тангенсом і котангенсом

називаються відповідно функції:

sh z =

ez −e−z

;

ch z =

ez + e−z

;

th z =

sh z

ez −e−z

; cth z =

ch z

ez + e−z

;

ch z

ez + e−z

sh z

ez −e−z

Гіперболічні функції можуть бути виражені через тригонометричних:

sh z = −i sin iz;	ch z = cosiz;
th z = −itg iz;	cth z = ictg iz;

Гіперболічні функції sh z і ch z мають період 2iπ, а функції th z і cth z – період πi.

Приклад. Знайти sin(1+2i).

sin(1+ 2i) =

ei−2

−e2−i

e−2ei

−e

2e−i

e−2 (cos1+i sin1) −e2 (cos1

−i sin1)

cos1(e−2

−e2 ) +i sin1(e2

+ e−2 )

+ e−2

−e−2

sin1+i

cos1 = ch2sin1+ sh2cos1.

Визначення. Логарифмічна функція комплексного аргументу визначається як

функція, зворотна показовою.

ew = z;

w = Lnz.

Якщо w = u + iv, то

= eu і Arg ew = arg z + 2πk

= v.

Тоді eu =

;

u = ln

Разом:

w = Lnz = ln

+i arg z + 2πik;

k = 0,±1,±2,...

				“Курс вищої математики. Частина 3.”
Для комплексного числа z = а + ib	arg z = arctg	b	;
Для комплексного числа z = а + ib	arg z = arctg	a	;
		a

Визначення. Вираз ln z = ln z +i arg z називається головним значенням

логарифма.

Логарифмічна функція комплексного аргументу володіє наступними властивостями:

1) ln(z1 z2 ) = ln z1 + ln z2 ;

2) ln	z1	= ln z	− ln z	2	;

	z2	1

3)ln(z)n = n ln z;

4)ln n z = 1n ln z;

Зворотні тригонометричні функції комплексного змінного мають вигляд:

Arc cos z = −i

−1

+ i[arg(z ±

Ln(z +

−1)

ln z ±

−1) + 2πk]

+ i[arg(iz ±

Ln(iz +

)

1 − z

Arc sin z = −i ln iz ±

) + 2πk]

	1+ zi		1+ zi			1		i − z

Arctgz = −i ln		+ i arg		+ 2πk	=		Ln
	1− zi		1− zi			2i		i + z

Arshz = ln z ±	z 2	+1 + i[arg(z ±		z 2	+1) + 2πk]= Ln(z ±	z 2	+1)
Archz = ln z ±	z 2	−1 + i[arg(z ±		z 2	−1) + 2πk]= Ln(z ±	z 2	−1)
		Arcthz =	1	Ln	1 + z
		Arcthz =	2	Ln	1− z
			2		1− z

Похідна функцій комплексного змінного.

Визначення. Похідній від однозначної функції w = f(z) в точці z називається

межа:

	∆w		f (z + ∆z) − f (z)	′	dw
lim		= lim		= f (z) =
lim	∆z	= lim	∆z	= f (z) =	dz
∆z→0	∆z	∆z→0	∆z		dz

Визначення. Функція f(z), що має безперервну похідну в будь-якій точці області D називається аналітичною функцією на цій області.

Правила диференціювання функцій комплексного аргументу не відрізняються від правил диференціювання функцій дійсною змінною.

Аналогічно визначаються похідні основних функцій таких як синус, косинус, тангенс і котангенс, статечна функція і так далі

Похідні гіперболічних функцій визначаються по формулах:

(shz)′ = chz;

(chz)′ = shz;

(thz)′ = ch12 z ;

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Виведення правил інтеграції, значень похідних основних функцій нічим не відрізняється від аналогічних операцій з функціями дійсного аргументу, тому детально розглядати їх не будемо.

Умови Коші – Рімана.

(Бернхард Ріман (1826 – 1866) – німецький математик)

Розглянемо функцію комплексної змінноїw = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) , що визначену на деякій області і має в якій, – або точці цієї області похідну

′

∆w

f (z) = lim

∆z

∆z→0

Прагнення до нуля z0 →може здійснюватися в наступних випадках:

1) ∆z = ∆x + i0 = ∆x;

∆x → 0;

2) ∆z = 0 + i∆y;

∆y → 0;

У першому випадку:

′

∆w

u(x + ∆x, y) −u(x, y)

v(x + ∆x, y) − v(x, y)

f (z) = lim

= lim

+ i

∆z

∆x

∆z→0

∆x→0

= lim

u(x + ∆x, y) −u(x, y)

+ i lim

v(x + ∆x, y) − v(x, y)

= ∂u

+ i

∂v .

∆x

∆x→0

∆x

∆x→0

∂x

У другому випадку:

′

∆w

u(x, y + ∆y) −u(x, y)

v(x, y + ∆y) −v(x, y)

f (z) = lim

= lim

∆z

i∆y

∆y

∆z→0

∆y→0

= −i lim

u(x, y + ∆y) −u(x, y)

+ lim

v(x, y + ∆y) −v(x, y)

= −i

∂u + ∂v .

∆y

∆y→0

∆y

∆y→0

∂y

Тоді повинна виконуватися рівність:

∂u =

∂v ;

∂u

= −

∂v

;

∂x

∂y

∂x

Ця рівність називається умовами Коші – Рімана, хоча ще раніше вони були отримані Ейлером і Даламбером.

Теорема. Якщо функція w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) має похідну в крапці

z = x + iy, то її дійсні компоненти u і v мають в крапці (х, у) приватні похідні першого порядку, що задовольняють умові Коші, – Рімана.

Також справедлива і зворотна теорема.

На підставі цих теорем можна зробити вивід, що з існування похідної виходить безперервність функції.

Теорема. Для того, щоб функція w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) була аналітичною

на деякій області необхідно і достатньо, щоб приватні похідні першого пасмочка функцій u і v були безперервні на цій області і виконувалися умови Коші – Рімана.

Інтеграція функцій комплексною змінною.

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Хай w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) - безперервна функція комплексного змінного z,

визначена в деякій області і L – крива, лежача в цій області.

Крива L задана рівнянням z = z(t) = x(t) + iy(t);

α ≤ t ≤ β

Визначення. Інтеграл від функції f(z) уподовж кривою L визначається таким чином:

∫ f (z)dz = ∫(u +iv)(dx +idy) = ∫(udx −vdy) +i∫(vdx +udy) =

L	L		L	L
β	′	′	β	′	′
	′	′		′	′
= ∫[u(x(t), y(t))x (t) −v(x(t), y(t))y (t)]dt			+i ∫[v(x(t), y(t))x (t) +u(x(t), y(t))y (t)]dt
α			α
Якщо врахувати, що, то		β
		β	′
			′
	∫ f (z)dz = ∫ f [z(t)]z (t)dt
	L	α

Теорема. (Теорема Коші) Якщо f(z) - аналітична функція на деякій області, то інтеграл від f(z) по будь-якому кусочно – гладкому контуру, що належить цій області рівний нулю.

∫ f (z)dz = 0

Інтегральна формула Коші.

Якщо функція f(z) – аналітична в односвязной замкнутій області з кусочно – гладкою межею L.

Тоді справедлива формула Коші:

f (z0 ) =	1	f (z)	dz

	2πi ∫L z − z0

“Курс вищої математики. Частина 3.”

де z0 – будь-яка крапка усередині контура L, інтеграція по контуру проводиться в позитивному напрямі (проти годинникової стрілки).

Ця формула також називається інтегралом Коші.

Ряди Тейлора і Лорана.

(Пьер Альфонс Лоран (1813 – 1854) – французький математик)

Функція f(z), аналітична в крузі z − z0 < R , розкладається в той, що сходиться до неї статечною ряд по ступенях (z – z0).

Коефіцієнти ряду обчислюються по формулах:

ck	=	f (k ) (z	0	)	=	1	f (z)dz	;	k = 0,1,2,...
		k!				2πi ∫L (z − z0 )k +1

Статечною ряд з коефіцієнтами такого вигляду називається поряд Тейлора.

Розглянемо тепер функцію f(z), аналітичну в кільці r < z − z0 < R . Ця функція може бути представлена у вигляді ряду, що сходиться:

∞		∞		∞		c−n
f (z) = ∑ cn (z − z0 )n = ∑cn (z − z0 )n + ∑						c−n
f (z) = ∑ cn (z − z0 )n = ∑cn (z − z0 )n + ∑					(z	− z	0 )	n
n=−∞		n=0		n=1	(z	− z	0 )
cn =	1	f (t)dt	;	n = 0,±1,±2,...
cn =	2πi ∫γ (t − z0 )n+1		;	n = 0,±1,±2,...
	2πi ∫γ (t − z0 )n+1

Ряд такого вигляду називається поряд Лорана. При цьому функція f(z) може бути представлена у вигляді суми:

	∞	∞	c−n
f (z) = f1 (z) + f2 (z);	f1 (z) = ∑cn (z − z0 )n ;	f2 (z) = ∑				;
			(z − z	0 )	n
	n=0	n=1

Ряд, що визначає функцію f1(x), називається правильною частиною ряду Лорана, а ряд, що визначає функцію f2(x), називається головною частиною ряду Лорана.

Якщо припустити, що r = 0, то можна вважати, що функція аналитична у відкритому крузі 0 < z − z0 < R за винятком центральної точки z0. Як правило, в цій крапці функція буває не визначена.

Тоді точка z0 називається ізольованою особливою точкою функції f.

Розглянемо наступні окремі випадки:

∞

1) Функція f(x) має вигляд: f (z) = f1 (z) = ∑ck (z − z0 )k . Оскільки статечною

k =0

ряд сходиться в усіх точках усередині круга, то його сума f1(x) визначена і безперервно дифференцируема в усіх точках круга, а, отже, і в центрі круга z0.

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных