Материал: Частина 3

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

“Курс вищої математики. Частина 3.”

y′′ = 2c2 + 6c3 x +12c4 x2 + 20c5 x3 +...

Підставляємо отримані вирази в початкове рівняння:

(2c2 + 6c3 x +12c4 x2 + 20c5 x3 +...) − (c0 x + c1 x2 + c2 x3 + c3 x4 +...) = 0 2c2 + x(6c3 − c0 ) + x2 (12c4 − c1 ) + x3 (20c5 − c2 ) + x4 (30c6 − c3 ) +... = 0

Звідси отримуємо:

6c3 −c0 = 0

12c4 −c1 = 0

20c5 −c2 = 0

30c6 −c3 = 0

......

Отримуємо, підставивши початкові умови у вирази для шуканої функції і її першої похідної:

= 0

Остаточно отримаємо: c

=1;

c = 0;

= 0; c

;

= 0;

= 0; c

; ...

180

Разом:

y =1+

+...

180

Існує і інший метод вирішення диференціальних рівнянь за допомогою рядів.

Він носить назву метод послідовного диференціювання.

Розглянемо той же приклад. Вирішення диференціального рівняння шукатимемо у вигляді розкладання невідомій функції в ряд Маклорена.

y = y(0) +

y′(0)

x +

y′′(0)

y′′′(0)

+...

Якщо

задані початкові умови

у(0)=1,

у’(0)=0

підставити

початкове

диференціальне рівняння, отримаємо, що

′′

y (0) = 0.

Далі

запишемо диференціальне

рівняння у вигляді y′′ = xy

послідовно

диференціюватимемо його по х.

′′′

′

′′′

= y(0) =1;

= y + xy

;

(0)

= y

′

+ y

′

′′

(0) = 0;

+ xy ;

= 2y

′′

+ y

′′

+ xy

′′′

(0) = 0;

;

yVI

= 3y′′′+ y′′′+ xy IV ;

yVI (0) = 4;

..........................................................

Після підстановки набутих значень отримуємо:

y =1+

+...

180

Ряди Фурье.

( Жан Батист Жозеф Фур'є (1768 – 1830) – французький математик)

Тригонометричний ряд.

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Визначення. Тригонометричним поряд називається ряд вигляду:

	a0	+ (a cos x +b sin x) + (a				2	cos 2x +b sin 2x) +... + (a	n	cos nx +b sin nx) +...
		+ (a cos x +b sin x) + (a					cos 2x +b sin 2x) +... + (a		cos nx +b sin nx) +...
2			1		1		2		n
2				a0	∞
					∞
або, коротше					+ ∑(an cos nx + bn sin nx).
або, коротше			2		+ ∑(an cos nx + bn sin nx).
			2		n=1

Дійсні числа ai, bi називаються коефіцієнтами тригонометричного ряду.

Якщо ряд представленого вище типу сходиться, то його сума є періодичною функцією з періодом 2π, оскільки функції sinnx і cosnx також періодичні функції з періодом 2.

Хай тригонометричний ряд рівномірно сходиться на відрізку [-π; π], а отже, і на будь-якому відрізку через періодичність, і його сума рівна f(x).

Визначимо коефіцієнти цього ряду.

Для вирішення цього завдання скористаємося наступною рівністю:

∫π cos mx cos nxdx

−π

∫π sin mxsin nxdx

−π

0,	m ≠ n,	m = 0,1,2,..
=	m = n,	m, n =1,2,...
π,	m = n,	m, n =1,2,...
0,	m ≠ n,
=	m = n,	m, n =1,2,...
π,	m = n,	m, n =1,2,...

∫π cos mxsin nxdx =0, m = 0,1,2,..., n =1,2,...

−π

Справедливість цієї рівності витікає із застосування до подынтегральному виразу тригонометричних формул. Докладніше за див.

Оскільки функція f(x) безперервна на відрізку [-π; π], то існує інтеграл

		π		2		π		π	∞
		∫		2		∫		∫	=
				f (x)dx =	a0		dx +		∑(an cos nx	+bn sin nx)dx = πa0
				f (x)dx =			dx +		∑(an cos nx	+bn sin nx)dx = πa0
		−π				−π		−π n 1
									π ∞
Такий результат виходить в результаті того, що ∫∑(an cos nx + bn sin nx)dx = 0 .
									−π n=1
		1		π					−π n=1
Отримуємо	: a0 =	1		∫ f (x)dx
Отримуємо	: a0 =	π		∫ f (x)dx
			−π

Далі умножаємо вираз розкладання функції в ряд на cosnx і інтегруємо в межах від -

πдо π.

π				2		π		π	∞
∫				2		∫		∫	=
	f (x) cos nxdx =			a0			cos nxdx +		∑(an cos2 nx +bn cos nx sin nx)dx = πan
	f (x) cos nxdx =						cos nxdx +		∑(an cos2 nx +bn cos nx sin nx)dx = πan
−π						−π		−π n 1

			1		π
Звідси отримуємо:		an =	1		∫ f (x) cos nxdx;				n =1,2,...
Звідси отримуємо:		an =	π		∫ f (x) cos nxdx;				n =1,2,...
					−π

Аналогічно умножаємо вираз розкладання функції в ряд на sinnx і інтегруємо в межах від - πдо .

		1	π
Отримуємо	: bn =	1	∫ f (x)sin nxdx, n =1,2,...
Отримуємо	: bn =	π	∫ f (x)sin nxdx, n =1,2,...
			−π

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Вираз для коефіцієнта а0 є окремим випадком для виразу коефіцієнтів an.

Таким чином, якщо функція f(x) – будь-яка періодична функція періоду 2π, безперервна на відрізку [-π; π] або така, що має на цьому відрізку кінцеве число точок розриву першого роду, то коефіцієнти

an =	1		∫π		f (x) cos nxdx;		n = 0,1,2,...
	π
			−π
bn =		1			∫π	f (x)sin nxdx,	n =1,2,...
		π
				−π

існують і називаються коефіцієнтами Фурье для функції f(x).

Визначення. Поряд Фурье для функції f(x) називається тригонометричний ряд, коефіцієнти якого є коефіцієнтами Фурье. Якщо ряд Фурье функції f(x) сходиться до неї у всіх її точках безперервності, то говорять, що функція f(x) розкладається в ряд Фурье.

Достатні ознаки розкладності в ряд Фурье.

Теорема. (Теорема Дирихле) Якщо функція f(x) має період 2 і на відрізку [-π;π] безперервна або має кінцеве число точок розриву першого роду, і відрізок

[-π;π] можна розбити на кінцеве число відрізань так, що усередині кожного з них функція f(x) монотонна, то ряд Фурье для функції f(x) сходиться при всіх значеннях х, причому в точках безперервності функції f(x) його сума рівна f(x), а в точках розриву його сума рівна, тобто середньому арифметичному граничних значень зліва і справа. При цьому ряд Фурье функції f(x) сходиться рівномірно на будь-якому відрізку, який належить інтервалу безперервності функції f(x).

Функція f(x), для якої виконуються умови теореми Дирихле називається

кусочно – монотонною на відрізку [-π;π].

Теорема. Якщо функція f(x) має період 2, крім того, f(x) і її похідна f’(x) – безперервні функції на відрізку [-π;π] або мають кінцеве число точок розриву першого роду на цьому відрізку, то ряд Фурье функції f(x) сходиться при всіх значеннях х, причому в точках безперервності його сума рівна f(x), а в точках розриву вона рівна

	f (x − 0) + f (x + 0)	. При цьому ряд Фурье функції f(x) сходиться рівномірно на будь-
	2
	2

якому відрізку, який належить інтервалу безперервності функції f(x).

Функція, що задовольняє умовам цієї теореми, називається кусочно – гладкою на відрізку [-π;π].

Розкладання в ряд Фурье неперіодичної функції.

Завдання розкладання неперіодичної функції в ряд Фурье в принципі не відрізняється від розкладання в ряд Фурье періодичної функції.

Допустимо, функція f(x) задана на відрізку [а, b] і є на цьому відрізку кусочно – монотонною. Розглянемо довільну періодичну кусочно – монотонну функцію f1(x) з

періодом 2Т ≥ ba , співпадаючу з функцією

f(x)

“Курс вищої математики. Частина 3.”

α - 2T

α а

b α+2T

α + 4T

Таким чином, функція f(x) була доповнена. Тепер функція f1(x) розкладається в ряд Фурье. Сума цього ряду в усіх точках відрізання [а, b] співпадає з функцією f(x), тобто можна вважати, що функція f(x) розкладена в ряд Фурье на відрізку [а, b].

Таким чином, якщо функція f(x) задана на відрізку, рівному 2 πнічим не відрізняється від розкладання в ряд періодичної функції. Якщо ж відрізок, на якому задана функція, менше, ніж 2π, то функція продовжується на інтервал (b, а + 2π) так, що умови розкладності в ряд Фурье зберігалися.

Взагалі кажучи, в цьому випадку продовження заданої функції на відрізок (інтервал) завдовжки 2 πможе бути проведене нескінченною кількістю способів, тому суми рядів, що вийшли, будуть різні, але вони співпадатимуть із заданою функцією f(x) на відрізку [а,b].

Ряд Фурье для парних і непарних функцій.

Відзначимо наступні властивості парних і непарних функцій:

a	0, f (x) − нечетная

1) ∫		a
	f (x)dx =
−a	2∫ f (x)dx, f (x) −четная
		0

2) Твір двох парних і непарних функцій є парною функцією. 3) Твір парної і непарної функцій – непарна функція.

Справедливість цих властивостей може бути легко доведена виходячи з визначення парності і непарності функцій.

Якщо f(x) – парна періодична функція з періодом 2π, що задовольняє умовам розкладності в ряд Фурье, то можна записати:

an =	1	∫π	f (x) cos nxdx =				2	∫π	f (x) cos nxdx		(n = 0,1,2,...)
an =	π	∫π	f (x) cos nxdx =				π	∫π	f (x) cos nxdx		(n = 0,1,2,...)
		−π				0
			bn =	1	∫π	f (x)sin nxdx = 0;				(n =1,2,...)
			bn =	π	∫π	f (x)sin nxdx = 0;				(n =1,2,...)
					−π

Таким чином, для парної функції ряд Фурье записується:

				a0	∞
		f (x) =		a0	+ ∑an cos nx
		f (x) =			+ ∑an cos nx
			2		n=1
an =	2	∫π	f (x) cos nxdx			(n = 0,1,2,...)
an =	π	∫π	f (x) cos nxdx			(n = 0,1,2,...)
0

Аналогічно отримуємо розкладання в ряд Фурье для непарної функції:

					“Курс вищої математики. Частина 3.”

			∞
			f (x) = ∑bn sin nx;
			n=1
bn =	2	∫π	f (x)sin nxdx;	(n =1,2,...)
bn =	π	∫π	f (x)sin nxdx;	(n =1,2,...)
0

Приклад. Розкласти в ряд Фурье періодичну функцію f (x) = x3 з періодом T =

2 на відрізку [-π;π].

Задана функція є непарною, отже, коефіцієнти Фурье шукаємо у вигляді:

∫π

f (x)sin nxdx;

(n =1,2,...)

= x

;

dv = sin nxdx;

2 π

x3 cos nx π

bn =

∫x

sin nxdx =

−

∫x

cos nx

cos nxdx

du = 3x

dx;

v = −

;

= x

;

dv = cos nxdx;

π3 cos πn

3 x2 sin nx

π 2x sin nx

sin nx

−

− ∫

du = 2xdx;

v =

;

π3 cos πn

= x;

dv = sin nxdx;

−

∫x sin nxdx =

cos nx

du = dx;

v = −

;

π3 cos πn

x cos nx

π cos nx

−

+ ∫

π3

cos πn

6πcos

6 sin nx

2π2

cos πn

12cos πn

2π

−

= −

= (−1)

−

Отримуємо:

∞

2π

= ∑bn sin nx = ∑

(−1)

−

sin nx .

n=1

Побудуємо графіки заданої функції і її розкладання в ряд Фурье, обмежившись першими чотирма членами ряду.

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных