Материал: Частина 3

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Елементи теорії поля.

Визначення. Якщо кожній точці простору М ставиться у відповідність деяка скалярна величина U, то таким чином задається скалярне поле U(M). Якщо кожній

простори М ставиться в соотвтствие векторF , то задається векторне поле Fr (М).

Хай в просторі М задана поверхня ∆. Вважатимемо, що в кожній точці Р визначається позитивний напрям нормалі одиничним вектором n(P) .

У просторі М задамо векторне поле, постовив у відповідність кожній крапці

точці простору вектор, визначений координатами:

F = P(x, y, z)ir + Q(x, y, z) rj + R(x, y, z)k

Якщо розбити яким – або образом поверхня на часткові ділянки ∆i і скласти суму∑(F(Pi )nr(Pi ))∆i , де Frnr - скалярний твір, то межа цієї суми при прагненні до

нуля площ часткових ділянок розбиття (якщо ця межа існує) буде поверхневим

інтегралом.

∫∫Fnrd∆

∆

Визначення. Поверхневий інтеграл ∫∫Fnrd∆ називається потоком векторного

поля Fr через поверхню ∆. ∆

Якщо поверхня розбита на кінцеве число часткових поверхонь, то потік векторного поля через всю поверхню буде рівний сумі потоків через часткові поверхні.

Якщо перетворити скалярний твір в координатну форму, то отримуємо

співвідношення:
rr
∫∫Fnd∆ = ∫∫[P cos α +Q cosβ+ R cos γ]d∆ = ∫∫Pdydz +Qdzdx + Rdxdy
∆	∆								∆
Якщо на області ∆ існує функція f(x, у, z),								що має безперервні приватні похідні,
для яких виконуються властивості:
	∂f = P;	∂f		= Q;			∂f		= R;
	∂x	∂y					∂z
то таку функцію називають потенційною функцією або потенціалом вектора Fr .
Тоді вектор Fr	є градієнтом функції f.
	r	=	∂f		r	∂f		r	+	∂f	r
	F = gradf	=	∂x		i +	∂y		j	+	∂z	k
			∂x			∂y				∂z

Потенціал може бути знайдений по формулі:

x	y	z
f (x, y, z) = ∫P(x, y0 , z0 )dx + ∫Q(x, y, z0 )dy + ∫R(x, y, z)dz
x0	y0	z0

У цій формулі x0, y0, z0 – координати деякої початкової точки. Як така крапка зручно брати початок координат.

111

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Теорема. Для того, щоб поле вектора, заданого в деякій області, мало потенціал, необхідно і достатньо, щоб виконувалася одна з двох умов:

1)Інтеграл від вектора F по будь-якому кусочно – гладкому контуру, що належить області, рівний нулю.

2)Інтеграл по будь-якому кусочно – гладкому шляху, що сполучає дві будь-які точки поля не залежить, від шляху інтеграції.

Формула Стоксу.

(Джордж Габрієль Стокс (1819 – 1903) – англійський математик)

Формула Стоксу пов'язує криволінійні інтеграли другого роду з поверхневими інтегралами другого роду.

Хай в просторі задана деяка поверхня S. L – безперервний кусочно – гладкий контур поверхні S.

z S

∆

l x

Припустимо, що функції P,Q і R безперервні на поверхні S разом зі своїми приватними похідними першого порядку. Застосуємо формулу, що виражає криволінійний інтеграл через визначений.

′

∫P(x, y, z)dx +Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = ∫[P(x(t), y(t), z(t))x (t) +Q(x(t), y(t), z(t))y (t) +

∂z

∂z ′

′

∫

′

+ R(x(t), y(t), z(t))z (t)]dt =

x (t) +

[Px (t) +Qy (t) + R

∂x

∂y

y (t) ]dt

∂z

= ∫ P + R

x′(t)

+ Q + R

y′(t) dt =

∫ P + R

dx + Q + R

∂x

∂y

∂x

∂y

Введемо позначення:

p =

∂z

; q =

∂z

;

∂x

∂y

Застосувавши формулу Гріна – Остроградського, можна замінити криволінійний інтеграл рівним йому подвійним інтегралом. Після перетворень встановлюється следуюшее відповідність між криволінійним і поверхневим інтегралом:

112

“Курс вищої математики. Частина 3.”

∫

Pdx + Qdy +

Rdz =

∫∫

∂R

−

∂Q

∂P

−

∂R

∂Q

−

∂P

dydz +

dzdx +

dxdy

∂y

∂z

∂x

∂y

ця формула і називається формула Стоксу.

Визначення. ВекторBr , компоненти якого рівні відповідно рівні

∂R

−

∂Q

;

∂P

−

∂R

;

∂Q

−

∂P

;

∂z

∂x

∂y

∂z

∂x

∂y

називається вихором або ротором вектора F = Pi + Qj + Rk і позначається:

rotF

Визначення.

∂

Символічний

вектор

= i

+ j

+ k

∂x

∂y

∂z

∂x

∂y

∂z

називається оператором Гамільтона. ( Уїльям Роуан Гамільтон (1805 – 1865) – ірландський математик) Символ - “набла”.

З урахуванням цього позначення можна уявити собі поняття ротора вектора F як векторного твору оператора Гамільтона на вектор F .

r	r r		ir	rj	k
			ir	rj	k
			∂	∂	∂
rotF	= × F	=
rotF	= × F	=	∂x	∂y	∂z
			∂x	∂y	∂z
			P	Q	R

Визначення. Криволінійний інтеграл, що є роботою векторного поля уздовж

деякої кривої L називається лінійним інтегралом від вектора Fr по орієнтованій кривій L.

∫Frdsr = ∫Pdx +Qdy + Rdz

L L

Якщо крива L є замкнутим контуром, то лінійний інтеграл по такому контуру називається циркуляцією вектроного поля F уздовж контура L.

Ц = ∫Fdsr = ∫Pdx +Qdy + Rdz

Увекторній формі теорему Стоксу можна сформулювати так:

Циркуляція вектора уздовж контура деякої поверхні рівна потоку вихривши (ротора) через цю поверхню.

∫Fdsr = ∫∫nrrotFd∆

λ∆

Відзначимо, що розглянута вище формула Гріна – Остроградського є окремим випадком формули Стоксу.

113

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Також за умови рівності нулю всіх компонент ротора вектора, отримуємо, що криволінійний інтеграл по будь-якій просторовій кривій рівний нулю, тобто криволінійний інтеграл не залежить від шляху інтеграції.

Визначення. Вираз	∂P	+		∂Q	+	∂R	називається дивергенцією вектора
	∂x			∂y		∂z

(дивергенцією векторної функції)			F = Pi + Qj + Rk і позначається

divFr = ∂∂Px + ∂∂Qy + ∂∂Rz

Таким чином, формулу Гауса – Остроградського може бути записана у вигляді:

∫∫	(P cos α + Q cosβ + R cos γ)dS =		∂P	+ ∂Q	+ ∂R
						dxdydz
		∫∫∫	∂x	∂y	∂z
S		V

або

∫∫∫divFdv = ∫∫FnrdS

V S

тобто інтеграл від дивергенції векторного поля F за об'ємом рівний потоку вектора через поверхню, обмежену цим об'ємом.

div Fr =0Визначення. . Векторне поле F називається соленоїдом (трубчастим), якщо

C допомогою описаного вище оператора Гамільтона можна представити визначені нами поняття таким чином:

gradf = f ; divF = F; rotF = × F;

Як було сказано вище (Див. Уравнение Лапласа.), вираз

∆ =	∂2	+	∂2	+	∂2
	∂x2		∂y2		∂z 2

називається оператором Лапласа.

Справедливі наступні співвідношення:

div(gradf ) = ∆f ;	f = ∆f

Справедливість цієї рівності легко перевірити безпосередньою підстановкою. Тепер розглянемо приклади застосування розглянутих вище понять.

Приклад. Знайтиrot(rr ar) rr, якщо rr = xi + yj + zk ; ar = i + j + k.

Знайдемо скалярний твір: rr a = x + y + z; Знайдемо скалярний твір:

114

“Курс вищої математики. Частина 3.”

(rr ar) rr ={P,Q, R} ={x2 + xy + xz, yx + y2 + yx, xz + yz + z 2 }

∂R

∂Q

∂R

∂P

∂Q

∂P

r r r

∂

rot(r a) r

= i

−

− j

−

+ k

−

∂x ∂y ∂z

∂y

∂x

∂z

∂x

∂z

∂y

= i (z − y) − j (z − x) + k ( y − x)

Приклад. Знайти потік векторного поля

F = ( y − x)i + (x + y) j + yk через

сторону трикутника S, вирізаного з площини

x + y + z −1 = 0

координатними

площинами.

x = 1 – z	z = 1 - у
x
у = 1 - x
у

r	r	1	1−y
П = ∫∫F	nds = ∫∫( y − x)dydz + (x + y)dxdz + ydxdy = ∫dy ∫( y + y + z −1)dz +
S	S	0	0

= ∫

	1		1−z					1			1−x				1									z		2					1−y			1					1−z					1			y	2		1−x
+ ∫dz ∫(x +1− z − x)dx + ∫dx ∫ydy = ∫																	2yz					+		z				− z					+ ∫[x − zx]									+ ∫					y				=
+ ∫dz ∫(x +1− z − x)dx + ∫dx ∫ydy = ∫																	2yz					+						− z					+ ∫[x − zx]									+ ∫									=
	0		0					0		0					0							2										0		0						0				0		2			0
	0		0					0		0					0							2										0		0						0				0		2			0
	=	1	2y − 2y2			+	1	− y +	y2	−1			+ y dy				+	1		[1		− z − z + z 2 ]dz +														1		1	− x		+		x2				dx =
	=		2y − 2y2			+		− y +		−1			+ y dy				+	∫		[1		− z − z + z 2 ]dz +														∫			− x		+						dx =
		∫				2		2										∫																		∫		2						2
		0				2		2										0																		0		2						2
	3y	2		1							z	3	1						x		2				x		3			1				y	3						y			1								1
−	3y		+ 2y −	1	dy + z − z 2 +						z			+		x	−		x				+		x						=	−		y			+ y2 −				y				+1				−1+			1	+
−			+ 2y −		dy + z − z 2 +									+			−						+								=	−					+ y2 −								+1				−1+				+
	2			2						3			0		2					2						6			0					2						2		0										3

+ 12 − 12 + 16 = − 12 +1− 12 + 63 = 12 .

Приклад. Знайти div(grad u), якщо u = ex+ y+z .

115

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных